2007　金沢大学　前期　文系MathJax

【１】　関数$f(x)=-x^2+6x+2|x-3|-6$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$が$4$点を共有するような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{3}{5}}x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，$3$点$\mathrm{P}(1,0)\text{，}\mathrm{Q}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{R}(\sin \theta ,-\cos \theta )$をとる．角$\theta$は$15°\leqq \theta \leqq 45°$の範囲にあるとし，$▵\mathrm{OPQ}$と$▵\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\theta <\alpha <\theta +90°$を満たす角$\alpha$に対して点$\mathrm{A}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$をとる．$▵\mathrm{OPA}$の面積と線分$\mathrm{QR}$の長さの積が$S+T$に等しくなるとき，$\alpha$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$15°\leqq \theta \leqq 45°$を満たしながら変化するとき，$T-S$のとりうる値の範囲を求め，$T-S$が最大値をとるときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$\theta$を(2)で求めた値とする．このとき$S$と$T$の値を求めよ．また，点${\mathrm{Q}}^{\prime }(-\cos \theta ,-\sin \theta )$に対して，$\mathrm{▵PQ}{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積を求めよ．

【３】　$xy$平面上で不等式$y\geqq x^2-7x+{\displaystyle \frac{49}{4}}$の表す領域を$D$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　さいころを続けて$2$回投げたとき，$1$回目に出た目を$m\text{，}2$回目に出た目を$n$とする．このとき，点$(m,n)$が$D$に属する確率を求めよ．

(2)　さいころを$1$回投げたときに出た目を$k$とする．この$k$に対して$2$点$\mathrm{P}(k,k+1)\text{，}\mathrm{Q}(k+1,k-1)$が両方とも$D$に属するときは，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る直線と放物線$y=x^2-7x+{\displaystyle \frac{49}{4}}$とで囲まれた部分の面積を得点とする．また，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の少なくとも一方が$D$に属さないときの得点は$0$とする．こうして定まる得点の期待値を求めよ．