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【4】 つの袋に個の玉が入っており,それぞれに,の数字が書かれている.この袋から玉をつ取り出し,もとに戻すという試行をくり返していき,取り出した玉に書かれた数字と直前の試行で取り出した玉の数字との和がとなったとき終了する.
とする.回以下の試行で終了したときは,最後に取り出した玉に書かれた数字を得点とし,回の試行では終了しない場合はとする.このようにして定まる得点の期待値をとする.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) とする.ちょうど回目の試行で終了する確率をとするとき,を求めよ.また,をを用いて表せ.
(2) を求めよ.また,をを用いて表せ.
(3) 極限値を求め,さらにを満たす最小の自然数を求めよ.ただし,とする.