2007　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)\text{，}\mathrm{C}(\mathrm{-1},0)$について，$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$を$t:1-t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を$t$で表せ．

(2)　$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求め，そのグラフをかけ．

(3)　(2)のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$n$は自然数とする．整式$f_n(x)$は

• $f_1(x)=x^2+1$
• $x(f_{n+1}(x)+x+2)=3{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$は$f_n(x)=x^2+a_{n}x+1$の形の$2$次式であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$f_n(x)$を求めよ．

【３】$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=60°$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=x$とおく．$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とし，$\mathrm{H}$から$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{HI}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$x$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{I}$が$\mathrm{OA}$の中点となるとき，$x$の値を求めよ．

【４】　正三角形の$2$辺の中点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\mathrm{AB}$の$\mathrm{B}$の方向への延長がこの正三角形の外接円と交わる点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の比${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$を求めよ．

【１】　$f(x)={\displaystyle {\int }_1^{e^x}}\log tdx$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$の極値と変曲点を求め，グラフの概形をえがけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^x=0$は証明なしに用いてよい．

(2)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$A^3=A$を満たす行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ b& \mathrm{-1}\end{array}\right)$をすべて求めよ．

専攻別数学選択方法

学校教育教員養成課程

　教育実践科学，社会科学教育専攻　数学$\text{①}$
　理数科学専攻　数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

　生活科学専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

養護学校教員養成課程
　障害児教育専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

教育カウンセリング課程

　心理臨床専攻　数学$\text{②}$と$\text{③}$