2007　信州大学　前期　工学部MathJax

2007　信州大学　前期　工学部

易□　並□　難□

【１】　

(1)　次の関係式で定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

$a_{1} = 4 ， a_{n + 1} = 4 a_{n} - 2^{n + 1} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

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易□　並□　難□

【１】　

(2)　定積分 $\int_{0}^{1} \frac{4 + x - x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　連立 $1$ 次方程式

${\begin{cases} (a - 1) x + y = 1 \\ (a + 1) x + (2 a - 1) y = 3 \end{cases} \dots$ (＊)

が解を無数にもつとき，次の問いに答えよ．ただし， $a$ は定数とする．

(1)　 $a$ の値を求めよ．

(2)　(＊)の解 $(x, y)$ のなかで $x^{2} + y^{2}$ の値を最小とするものを求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　右の図の四角形 $ABCD$ において，

$AB = 1 ， BC = 8 ， CD = 3 ， DA = 6 ， ∠ A + ∠ C = 120 °$

とするとき，その面積を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】(1)　曲線 $C_{1} : 6 y - x^{2} = k$ と曲線 $C_{2} : y = \log (x + 2)$ が共有点をもち，この点で $2$ つの曲線の接線が一致するとき，定数 $k$ の値を定めよ．ただし，対数は自然対数である．

(2)　(1)のとき，曲線 $C_{1} ， C_{2}$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．