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2007-10483-0101
2007 名古屋工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 n を自然数とする.曲線 C:y= 1 n⁢ xn+ 1+1 ( x≧0 ) 上の点 P (a, b) における接線 l が原点を通っている.ただし a> 0 とする.
(1) a の値を求めよ.
(2) 曲線 C と直線 l および y 軸で囲まれた部分の面積 Sn を求めよ.
(3) limn→ ∞⁡ Sn を求めよ.
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【2】 次の問いに答えよ.
(1) 方程式 x2 ⁢tan⁡ x=1 (0< x< π2 ) がただ 1 つの実数解 α をもつことを示せ.
(2) limx→ +0⁡ e-1 x⁢ cos⁡x を求めよ.
(3) c を実数とする.方程式 e -1x ⁢cos ⁡x=c ( 0<x≦ π 2 ) が異なる 2 つの実数解をもつような c の値の範囲を(1)の α を用いて表せ.
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【3】 放物線 y2 =4⁢ p⁢x (p >0 ) 上に 4 点があり,それらを y 座標の大きい順に A ,B , C, D とする.線分 AC と BD は放物線の焦点 F で垂直に交わっている.ベクトル FA → が x 軸の正の方向となす角を θ とする.
(1) 線分 AF の長さを p と θ を用いて表せ.
(2) 1 AF⋅CF + 1BF⋅ DF は θ によらず一定であることを示し,その値を p を用いて表せ.
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【4】 x 軸上を点 A が次の規則にしたがって動くとする.
1 回サイコロを振るごとに,
・ 5 以下の目が出ると, x 軸の正の方向に 1 進む.
・ 6 の目が出ると,原点に移動する.ただし,原点にある場合はその位置にとどまる.
点 A は最初に原点にあるとする.
(1) 3 回サイコロを振った後の点 A が x= 2 にある確率を求めよ.
(2) n を自然数, k を 0≦ k≦n をみたす整数とする. n 回サイコロを振った後の点 A が x= k にある確率 pk を求めよ.
(3) n を自然数とする. n 回サイコロを振った後の点 A の x 座標の期待値 En を求めよ.
(4) limn→ ∞⁡ En を求めよ.