2007　京都大学　前期MathJax

【１】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

問１　$A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とするとき，$A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E$を求めよ．

【１】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

問２　四角形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は時刻$0$では頂点$\mathrm{O}$にあり，$1$秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の$5$つの頂点のいずれかに移動する．

規則：点$\mathrm{P}$のあった頂点と$1$つの辺によって結ばれる頂点の$1$つに，等しい確率で移動する．

　このとき，$n$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{O}$にある確率を求めよ．

【２】　$3$次関数$y=x^3-2x^2-x+2$のグラフ上の点$(1,0)$における接線を$l$とする．この$3$次関数のグラフと接線$l$で囲まれた部分を$x$軸の回りに回転して立体を作る．その立体の体積を求めよ．

【３】　$p$を$3$以上の素数とする．$4$個の整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が次の$3$条件

$a+b+c+d=0\text{，}ad-bc+p=0\text{，}a\geqq b\geqq c\geqq d$

を満たすとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$p$を用いて表せ．

【４】　座標空間で点$(3,4,0)$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(1,1,1)$に平行な直線を$l\text{，}$点$(2,-1,0)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(1,-2,0)$に平行な直線を$m$とする．点$\mathrm{P}$は直線$l$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$m$上をそれぞれ勝手に動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【５】　$n$を$1$以上の整数とするとき，次の$2$つの命題はそれぞれ正しいか．正しいときは証明し，正しくないときはその理由を述べよ．

• 命題$\mathrm{p}$：ある$n$に対して，$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$は共に有理数である．
• 命題$\mathrm{q}$：すべての$n$に対して，$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数である．

【１】　次の各問にそれぞれ答えよ．

問２　得点$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$が等しい確率で得られるゲームを独立に$3$回くり返す．このとき，$2$回目の得点が$1$回目の得点以上であり，さらに$3$回目の得点が$2$回目の得点以上となる確率を求めよ．

【２】　$x\text{，}y$を相異なる正の実数とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}=x{a}_n+y^{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$が有限の値に収束するような座標平面上の点$(x,y)$の範囲を図示せよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線とこの三角形の外接円との交点で$\mathrm{A}$と異なる点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．同様に$\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．このとき$3$直線$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }$は$1$点$\mathrm{H}$で交わり，この点$\mathrm{H}$は三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の垂心と一致することを証明せよ．

【５】　${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}}$とする．座標平面上で原点の回りに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転する$1$次変換を$f$とし，直線$y=(\tan \alpha )x$について対称移動する$1$次変換を$g$とする．合成変換$f\circ g$が$x$軸について対称移動する$1$次変換と一致するとき，$\alpha$の値を求めよ．

【６】　$y=x{e}^{1-x}$と$y=x$のグラフで囲まれた部分を$x$軸の回りに回転してできる立体の体積を求めよ．

【１】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

問１　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}}dx$を求めよ．

【１】　以下の各問にそれぞれ答えよ．

問２　$1$歩で$1$段または$2$段のいずれかで階段を昇るとき，$1$歩で$2$段昇ることは連続しないものとする．$15$段の階段を昇る昇り方は何通りあるか．

【４】　点$\mathrm{O}$を中心とする円に内接する$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$▵\mathrm{PQR}$の外心が点$\mathrm{O}$と一致するとき，$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

【５】　$A$を$2$次の正方行列とする．列ベクトル$\overrightarrow{x_0}$に対し，列ベクトル$\overrightarrow{x_1}\text{，}\overrightarrow{x_2}\text{，}\cdots$を

$\overrightarrow{x_{n+1}}=A\overrightarrow{x_n}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ある零ベクトルではない$\overrightarrow{x_0}$について，$3$以上の自然数$m$で初めて$\overrightarrow{x_m}$が$\overrightarrow{x_0}$と一致するとき，行列$A^m$は単位行列であることを示せ．

【６】　すべての実数で定義され何回でも微分できる関数$f(x)$が$f(0)=0\text{，}{f}^{\prime }(0)=1$を満たし，さらに任意の実数$a\text{，}b$に対して$1+f(a)f(b)\ne 0$であって

$f(a+b)={\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{1+f(a)f(b)}}$

を満たしている．

(1)　任意の実数$a$に対して，$-1<f(a)<1$であることを証明せよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフは$x>0$で上に凸であることを証明せよ．