2007　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　空間に$3$つの異なる単位ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$があり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角，$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}$のなす角はすべて等しい．その角を$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．

(1)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$の大きさ$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$であることを示せ．

(3)　$k$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{d}=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が単位ベクトルであり，$\overrightarrow{d}$と$\overrightarrow{a}$のなす角が$\theta$に等しいとき，$k$および$\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$xy$平面の$2$曲線$y=a{x}^2$と$y=(x^2+1)e^x$がただ$1$つの共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)\text{，}g(x)\text{（}x>0\text{）}$を次のように定義する．

$f(x)=\log (x+1)-\log x$

$g(x)={\displaystyle {\int }_1^x}({\displaystyle \frac{1}{t}}-f(t))dt$

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to \infty }{\lim }xf(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)$を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．項数$n$の数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を次のように定める．

各番号$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$に対して$1$枚のコインを投げて，表が出れば$a_k=k$とし，裏が出れば$a_k=n+1$とする．

　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$の中で最小の数を$X\text{，}2$番目に小さい数を$Y$とする．ただし，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$がすべて$n+1$のときは$X=n+1\text{，}Y=n+1$とする．$b\text{，}c$は自然数で，$1\leqq b\leqq n+1\text{，}2\leqq c\leqq n+1$を満たすものとする．

(1)　$X\geqq b$となる確率$p$を求めよ．

(2)　$X=b$となる確率$q$を求めよ．

(3)　$Y\geqq c$となる確率$r$を求めよ．

(4)　$Y=c$となる確率$s$を求めよ．