2007　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& 1\end{array}\right)$を考える．$A$の表す$xy$平面上の移動（$1$次変換）によって点$(2,1)$の移る点および点$(-1,1)$の移る点がともに原点を通る$1$つの直線上にあるとする．その直線を$l$とする．

(1)　$ab=1$となることを示せ．

(2)　点$(p,q)$を$xy$平面上の任意の点とする．$(p,q)$が$A$の表す移動によって点$(r,s)$に移るとき，$(r,s)$は$l$上にあることを示せ．

(3)　$A$の表す移動によって点$(1,-1)$の移る点を$(u,v)$とする．原点と$(u,v)$の距離が$2\sqrt{2}$であるとき，条件$a\geqq b>0$のもとで，$a\text{，}b$の値および$l$の方程式を求めよ．

【２】　$xy$平面の曲線$C$が媒介変数$t$を用いて

$x=t^3-t^2+2t-3\text{，}y=t^2-2t$

と表されている．曲線$C$の接線で傾きが最大となるものを$l_1\text{，}$最小となるものを$l_2$とする．

(1)　$l_1$と$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$として$\tan \theta$の値を求めよ．

【３】　$a$を$a>0\text{，}a\ne 1$を満たす実数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件で定める．

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}={a_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　すべての自然数$n$に対して$a_n\ne 1$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{1-a_{k+1}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．すべての自然数$n$に対して$b_n={\displaystyle \frac{1}{1-a}}-{\displaystyle \frac{1}{1-a_{n+1}}}$が成り立つことを示せ．

(3)　(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【４】　$xyz$空間に円柱$V_1$と三角柱$V_2$がある．$V_1$の$2$つの底面は$xy$平面および平面$z=1$の上にあり，$xy$平面の上の底面は原点を中心とする半径$2$の円で，平面$z=1$の上の底面は点$(0,0,1)$を中心とする半径$2$の円である．$V_2$の$2$つの底面は平面$y=-2$および平面$y=2$の上にあり，平面$y=-2$の上の底面は$3$点$(0,-2,0)\text{，}(1,-2,0)\text{，}(0,-2,1)$を頂点とする三角形であり，平面$y=2$の上の底面は$3$点$(0,2,0)\text{，}(1,2,0)\text{，}(0,2,1)$を頂点とする三角形である．$V_1$と$V_2$の共通部分を$W$とする．

(1)　$-2\leqq t\leqq 2$を満たす$t$について，平面$x=t$による$V_1$の切り口の面積$S_1(t)$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$を満たす$t$について，平面$x=t$による$V_2$の切り口の面積$S_2(t)$を求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq 1$を満たす$t$について，平面$x=t$による$W$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．

(4)　$W$の体積を求めよ．