2007　大阪大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面において，放物線$y=x^2$を$C$とする．また，実数$k$を与えたとき，$y=x+k$で定まる直線を$l$とする．

(1)　$-2<x<2$の範囲で$C$と$l$が$2$点で交わるとき，$k$の満たす条件を求めよ．

(2)　$k$が(1)の条件を満たすとき，$C$と$l$および$2$直線$x=-2\text{，}x=2$で囲まれた$3$つの部分の面積の和$S$を$k$の式で表せ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$つのさいころを$n$回投げ，第$1$回目から第$n$回目までに出た目の最大公約数を$G$とする．

(1)　$G=3$となる確率を$n$の式で表せ．

(2)　$G$の期待値を$n$の式で表せ．

【３】　$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を通る半径$r\text{（}r>0\text{）}$の円を$C$とし，その中心を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{O}$を除く$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，次の$2$つの条件(a)，(b)で定まる点$\mathrm{Q}$を考える．

• (a)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の向きが同じ．
• (b)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=1$．

　以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$を除く$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に直交する直線上を動くことを示せ．

(2)　(1)の直線を$l$とする．$l$が$C$と$2$点で交わるとき，$r$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　$n$を自然数とする．関数$y=\sqrt{x}$のグラフを$C$とし，$C$上の$2$点$(n,\sqrt{n})$と$(n+1,\sqrt{n+1})$を通る直線を$l$とする．$C$と$l$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{a}V=b$を満たす正の数$a\text{，}b$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$x$が正の数のとき$|\log x|\leqq {\displaystyle \frac{|x-1|}{\sqrt{x}}}$を示せ．

(2)　$p\text{，}q\text{，}r$が$p+q+r=1$を満たす正の数のとき

$p^2+q^2+r^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$

を示せ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$が相異なる正の数で，$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$を満たすとき

${\displaystyle \frac{ab}{b-a}\log \frac{b}{a}+\frac{bc}{c-b}\log \frac{c}{b}+\frac{ca}{a-c}\log \frac{a}{c}\leqq \frac{1}{3}}$

を示せ．

【４】　$f(x)=x^3-x$とし，$t$を実数とする．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，直線$x=t$に関して$C_1$と対称な曲線

$y=f(2t-x)$

を$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が$3$点で交わるとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)で求めた範囲を動くとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$の最大値を求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．$4$個の行列

• $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\text{，}$
• $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\text{，}D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{，}$

を重複を許して$n$個並べたものを

$M_1\text{，}{M}_2\text{，}\cdots \text{，}{M}_n$

とする．

(1)　積$M_1{M}_2\cdots M_n$が定義できる場合は何通りあるか．その数を$n$の式で表せ．

(2)　積$M_1{M}_2\cdots M_n$が定義できて，その積が零行列でない$2\times 3$行列となる場合は何通りあるか．その数を$n$の式で表せ．

(3)　積$M_1{M}_2\cdots M_n$が定義できて，その積が零行列とならない場合は何通りあるか．その数を$n$の式で表せ．