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2007-10561-0201
2007 大阪大学 後期
理,工,基礎工学部
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 自然数 r と負でない整数 a 1 ,a 2 ,⋯ ,ar が次の つの条件を満たすとする.
(1) a2+ 2⁢a 3+⋯ +(r+ 1)⁢ ar≦ 4 を示せ.
(2) r≦5 を示せ.
(3) 条件を満たす r とそのときの a 1 , a2 , ⋯, ar の組をすべて求めよ.
2007-10561-0202
【2】 関数 y= log⁡x と y= a x2 を考える.ただし,対数は自然対数とし, a>0 とする.
(1) 2 つの曲線 y= log⁡x と y= a x2 の交点の x 座標を p で表すとき, a を p を用いて表せ.
(2) y=log⁡ x ,y= a x2 ,x= 1 ,x= 2 で囲まれる部分の面積 S を p を用いて表せ.
(3) a を動かすとき, S の最小値を求めよ.
2007-10561-0203
【3】 空間に 8 個の点
をとる.
(1) 四面体 ACFH を平面 z= t( 0≦ t≦1 ) で切断したとき,切断面の面積を t で表せ.
(2) 四面体 ACFH と四面体 BDEG の重なり合う部分の体積を求めよ.
2007-10561-0204
配点70点
【4】 媒介変数 t ( t> 0) を用いて, x=f ⁡(t ), y=g ⁡(t ) と表される曲線を C とする.ここで,
f⁡(t )=a⁢ t -t- 1 2 ,g⁡ (t)= b⁢ t+ t-1 2 .
ただし, a ,b は正の定数である.
(1) 次の等式が成り立つことを示せ.
dy dx d xdt = b 2a2 ⁢ f⁡( t)g ⁡( t)
(2) 点 P (u, v) を通る C の接線が 2 本引ける P (u, v) の領域を図示せよ.
(3) 点 P (u, v) を通る 2 本の接線が直交する場合を考える.このような P (u, v) が存在するための a , b の条件,およびそのときの P (u, v) の軌跡を図示せよ.