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2007 大阪大学 後期

理,工,基礎工学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】 自然数 r と負でない整数 a 1 a 2 ar が次の つの条件を満たすとする.

(1)  a2+ 2a 3+ +(r+ 1) ar 4 を示せ.

(2)  r5 を示せ.

(3) 条件を満たす r とそのときの a 1 a2 ar の組をすべて求めよ.

2007 大阪大学 後期

理,工,基礎工学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】 関数 y= logx y= a x2 を考える.ただし,対数は自然対数とし, a>0 とする.

(1)  2 つの曲線 y= logx y= a x2 の交点の x 座標を p で表すとき, a p を用いて表せ.

(2)  y=log x y= a x2 x= 1 x= 2 で囲まれる部分の面積 S p を用いて表せ.

(3)  a を動かすとき, S の最小値を求めよ.

2007 大阪大学 後期

理,工,基礎工学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【3】 空間に 8 個の点

をとる.

(1) 四面体 ACFH を平面 z= t 0 t1 で切断したとき,切断面の面積を t で表せ.

(2) 四面体 ACFH と四面体 BDEG の重なり合う部分の体積を求めよ.

2007 大阪大学 後期

理,工,基礎工学部

配点70点

易□ 並□ 難□

【4】 媒介変数 t t> 0 を用いて, x=f (t ) y=g (t ) と表される曲線を C とする.ここで,

f(t )=a t -t- 1 2 g (t)= b t+ t-1 2

ただし, a b は正の定数である.

(1) 次の等式が成り立つことを示せ.

dy dx d xdt = b 2a2 f( t)g ( t)

(2) 点 P (u, v) を通る C の接線が 2 本引ける P (u, v) の領域を図示せよ.

(3) 点 P (u, v) を通る 2 本の接線が直交する場合を考える.このような P (u, v) が存在するための a b の条件,およびそのときの P (u, v) の軌跡を図示せよ.

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