2007　神戸大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．$xy$平面において，曲線$C:y=x^2-ax+b$および$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$を考える．$C$が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を結ぶ線分上の異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通るとし，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l\text{，}\mathrm{Q}$における$C$の接線を$m$とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$p+q\text{，}pq$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}b$が$b={\displaystyle \frac{a^2+1}{4}}$をみたすとき，$l\text{，}m$の交点が直線$y=x$上にあることを示せ．

【２】　$xy$平面上に$4$点${\mathrm{P}}_1(0,-1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(2,1)\text{，}{\mathrm{P}}_3(0,3)\text{，}{\mathrm{P}}_4(-2,0)$をとる．$a$を正の実数として，次の問に答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1$を通り傾きが$a$となる直線を$l_1\text{，}{\mathrm{P}}_3$を通り傾きが$a$となる直線を$l_3\text{，}{\mathrm{P}}_2$を通り$l_1$と直交する直線を$l_2\text{，}{\mathrm{P}}_4$を通り$l_1$と直交する直線を$l_4$とする．$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3\text{，}{l}_4$の方程式を$a$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$4$本の直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3\text{，}{l}_4$によって囲まれた長方形を$R$とする．このとき，$4$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$が$R$の外側に出ない$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$n$を$3$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　さいころを$n$回投げたとき，出た目の数がすべて$1$になる確率を求めよ．

(2)　さいころを$n$回投げたとき，出た目の数が$1$と$2$の$2$種類になる確率を求めよ．

(3)　さいころを$n$回投げたとき，出た目の数が$3$種類になる確率を求めよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に関する次の命題の真偽を判定し，正しければそれを証明し，正しくなければ反例をあげよ．ただし，$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　$A^2=O$ならば$A=O$

(2)　$A^4=O$ならば$ad-bc=0$

(3)　$A^4=O$ならば$A^2=O$

【２】　$0\leqq t\leqq 1$をみたす実数$t$に対して，直線$y=t$と曲線$y={(x+1)}^2{(x-1)}^2$によって囲まれる図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とおく．$V(t)$を最小にする$t$の値とその最小値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$x$の関数$y=x^2+ax$の$|x|\leqq 1$における最小値$m$と最大値$M$を求めよ．

(2)　$|x|\leqq 1$ならば$|x^2+ax-b|\leqq 1$をみたす点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

【４】　$a$を実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}a\sin x+\cos x& (x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ x-\pi & (x>{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$

で定義する．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で連続となる$a$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$の値に対し，$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$f(x)$は微分可能でないことを示せ．

【５】　$n$を$3$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　さいころを$n$回投げたとき，出た目の数がすべて$1$になる確率を求めよ．

(2)　さいころを$n$回投げたとき，出た目の数が$1$と$2$の$2$種類になる確率を求めよ．

(3)　さいころを$n$回投げたとき，出た目の数が$3$種類になる確率を求めよ．