2007　岡山大学　前期MathJax

【１】　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の数字が書かれたカードを各$1$枚，数字$0$が書かれたカードと数字$5$が書かれたカードを各$2$枚ずつ用意する．この中からカードを何枚か選び，左から順に横一列に並べる．このとき，先頭のカードの数字が$0$でなければ，カードの数字の列は，選んだカードの枚数を桁数とする正の整数を表す．このようにして得られる整数について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の数字が書かれたカード各$1$枚ずつ，計$5$枚のカードだけを用いて表すことができる$5$桁の整数はいくつあるか．

(2)　用意されたカードをすべて用いて表すことができる$8$桁の整数はいくつあるか．

【２】　関数$y=x^2$のグラフ$C$上に$2$点$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)$と$\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2)$をとる．ただし，$\alpha <\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$と$C$で囲まれる部分の面積が${\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$であることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さが一定値$l$であるという条件のもとで(1)の面積が最大になるのは，線分$\mathrm{AB}$が$x$軸に平行な場合であることを示せ．また，その最大値を$l$を用いて表せ．

【３】　$k$が$4$より大きい自然数であるとき，$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1$を，$\angle \mathrm{O}=\left({\displaystyle \frac{360}{k}}\right)°\text{，}\angle {\mathrm{A}}_0=90°$で，面積が$1$であるような直角三角形とする．また，$n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}k$に対して，点${\mathrm{A}}_n$を，$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n$が$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{n-2}{\mathrm{A}}_{n-1}$に相似であるように定める．$r=\cos \angle \mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1\text{，}▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{A}}_k$の面積の和$S$を$r$と$k$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{O}=45°$のときの$S$の値と$\angle \mathrm{O}=30°$のときの$S$の値を比較し，どちらが大きいか答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【４】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$4$点$(1,3)\text{，}(-1,3)\text{，}(-1,-3)\text{，}(1,-3)$を頂点とする長方形の周を$R$とする．$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，$(1,0)$を出発して$R$上を反時計回りに秒速$1$で移動する点の$n$秒後の位置を${\mathrm{P}}_n$とし，$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$と$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+2}$のなす角度を${\theta }_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\cos {\theta }_0\text{，}\cos {\theta }_1\text{，}\cos {\theta }_2\text{，}\cos {\theta }_3$を求めよ．

(2)　すべての$n$に対して$\cos {\theta }_{n+k}=\cos {\theta }_n$が成り立つような自然数$k$のうち，もっとも値が小さいものを求めよ．

(3)　${\theta }_n$が最小となるときの${\mathrm{P}}_n$の座標をすべて求めよ．

【１】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人のうち$2$人が，$1$から$13$までの数字が書かれた$13$枚のカードの束から順に$1$枚ずつカードを引き，大きい数のカードを引いた者を勝者とするルールで代わる代わる対戦する．

　ただし，最初に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦し，その後は，直前の対戦の勝者と休んでいた者が対戦を行う．また，カードを引く順番は最初は$\mathrm{A}$から，その後は直前の対戦の勝者からとする．なお，対戦に先立って毎回カードの束をシャッフルし，引いたカードは対戦後直ちに元の束に戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　最初の対戦で$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　$4$回目の対戦に$\mathrm{A}$が出場する確率を求めよ．

(3)　$5$回の対戦を行うとき，$\mathrm{A}$が$3$人のなかで一番先に連勝を達成する確率を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3-3a^{2}x-b$とする．ただし，$a\text{，}b$は実数の定数であり，$a\geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$f(x)=0$のすべての解が区間$-1\leqq x\leqq 1$に含まれる実数解であるための条件を，$a$と$b$に関する不等式を表せ．

(2)　座標平面上で，(1)で求めた条件を満たす点$(a,b)$の集合が表す領域を$D$とする．$D$の概形を描き，その面積を求めよ．

【３】　方程式$y=x^2$で与えられる座標平面上の放物線を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$をどのように選んでも，$\mathrm{P}$を行列$A$で表される移動によって移した点がまた$C$上の点であるとき，$A$の成分$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$がみたす条件を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{Q}(-1,1)\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }(1,-1)$をとり，${\mathrm{Q}}^{\prime }$を通り，線分$\mathrm{Q}{\mathrm{Q}}^{\prime }$と直交する直線を$l$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$を行列$B=\left(\begin{array}{cc}1& -\alpha \\ 1& \alpha \end{array}\right)$で表される移動によって移した点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とするとき，${\mathrm{P}}^{\prime }$から$\mathrm{Q}$までの距離と${\mathrm{P}}^{\prime }$から$l$までの距離が等しくなるような$\alpha$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq {\displaystyle \frac{3}{4\pi }}$ならば，$f^{\prime }(x)>0$であることを示せ．

(2)　$b\geqq a>0\text{，}b\geqq {\displaystyle \frac{2}{\pi }}$のとき，

${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx\leqq (b-a)f(b)\leqq b-a$

が成り立つことを示せ．