2007　広島大学　後期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表す．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{N}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を，$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AM}$の長さを$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　$2$つの線分$\mathrm{AM}$と$\mathrm{BM}$が垂直であるとき，$a$を$b$と$c$を用いて表せ．

【２】　$m>0\text{，}p>0$とし，曲線$C:y=x^3-mx$上の点$\mathrm{P}(p,p^3-mp)$における$C$の接線を$l$とする．曲線$C$と接線$l$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$と異なる点とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(2)　曲線$C$と接線$l$で囲まれた部分の面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，$p$を求めよ．

【３】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$とする．また，$\overrightarrow{m}=(a,c)\text{，}\overrightarrow{n}=(b,d)$とおく．行列$A$が逆行列$A^{-1}$をもち，$A^{\prime }=A^{-1}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　${(ad-bc)}^2=1$であることを示せ．

(2)　$a^2+c^2$と$b^2+d^2$の値を求めよ．

(3)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{m}$と$\overrightarrow{n}$が垂直であることを示せ．

(4)　ベクトル$\overrightarrow{p}=(1,1)$に対して，実数$s\text{，}t$を$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{m}+t\overrightarrow{n}$となるように定める．このとき，$s^2+t^2$の値を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b$とする．$2$次方程式

$a{x}^2+2(2a-b)x-b^2+4a+1=0\cdots \text{①}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$\text{①}$が$x=0$を解にもつ確率を求めよ．

(2)　$b\geqq 4$のとき，$2$次方程式$\text{①}$は実数解をもつことを示せ．

(3)　$2$次方程式$\text{①}$が虚数解をもつ確率を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，次の$2$つの等式が成立することを示せ．

${\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{1+{\tan }^{2}x}}\text{，}{\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}}$

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$y={\sin }^{2k-1}x\sin x$は$x=a$で最大値$M$をとるとする．このとき，${\tan }^{2}a$と$M$を，$k$を用いて表せ．ただし，$k$は正の整数とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とする．$ad-bc\ne 0$とするとき，実数の組$(u,v)$に対して方程式

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$

の解となる実数の組$(x,y)$を求め，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}u\text{，}v$の式で表せ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& 9\end{array}\right)$とし，$x\text{，}y$に関する方程式

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$

を考える．どのような実数の組$(x,y)$もこの方程式の解にならないような実数の組$(u,v)$を一つ与え，その理由を述べよ．

(3)　行列$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$と実数の組$(u,v,w)$に対し，

$B=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array}\right)$

を満たす実数の組$(x,y,z)$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　空間内の$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対して，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}^2{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}})}^2}$

であることを証明せよ．

(2)　$\mathrm{A}(1,2,-1)\text{，}\mathrm{B}(-1,5,-2)\text{，}\mathrm{C}(5,-3,1)$のとき$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　さらに$\mathrm{D}(4,4,-2)$とするとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面上の点$\mathrm{H}$で，$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$がその平面と垂直になるものを求めよ．

(4)　上の$4$点を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　正三角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，「コインを投げて表が出れば反時計回りに次の頂点に移動し，裏が出れば移動せずその頂点にとどまる」という試行を考える．頂点$\mathrm{O}$を出発し，$n$回の試行の後，頂点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$と表す．ただし，$p_0=1\text{，}{q}_0=r_0=0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}\text{，}{r}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を用いて表せ．

(2)　$p_{n+3}={\displaystyle \frac{3-p_n}{8}}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n={\displaystyle \frac{1}{3}}$であることを示せ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，$a=\cos x\text{，}b=\sin x\text{，}c=2-\cos x-\sin x$とおく．不等式$a<b+c\text{，}b<c+a\text{，}c<a+b$を示すことにより，この$a\text{，}b\text{，}c$を$3$辺の長さに持つような三角形が存在することを確認せよ．

(2)　前問における三角形の面積$S$を最大にする$x$の値と，その時の面積の$2$乗$S^2$の値を求めよ．ただし，一般に，$3$辺の長さが$a\text{，}b\text{，}c$である三角形の面積$S$は，ヘロンの公式

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}(s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}})$

で与えられることは既知としてよい．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　不等式

$1-nt\leqq {(1-t)}^n\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+nt}}\text{（}0<t<1\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　$a_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\text{，}{b}_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，不等式

${\displaystyle \frac{b_n}{b_{n-1}}}\leqq 1\leqq {\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$0<b_n-a_n\leqq {\displaystyle \frac{e}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．ただし，$e$は自然対数の底$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$とする．