2007　九州大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=(x^2-2)(x^2-4x+2)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$の実数解$x$をすべて求め，小さい順に並べよ．

(2)　不等式$f(n)\leqq 0$を満たす整数$n$をすべて求めよ．

(3)　不等式$f(n)\leqq 1$を満たす整数$n$をすべて求めよ．

【２】　$t$を$0\leqq t\leqq 1$を満たす数とし，空間内の$4$点$\mathrm{A}(t,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,t,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,t)\text{，}\mathrm{P}\left({\displaystyle \frac{4}{9}t,\frac{4}{9}t,\frac{4}{9}t}\right)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示し，その面積$S(t)$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であることを示せ．

(3)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V(t)$を求めよ．また$V(t)$の最小値とその最小値を与える$t$の値を求めよ．

【３】　図のような一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．この正方形の辺上の点$\mathrm{Q}$を，コインを投げて表が出れば反時計まわりに$1\text{，}$裏が出れば時計まわりに$1$動かす試行を考える．点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{A}$から出発してこの試行が繰り返し行われるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　表の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインを投げて，上記の試行を$2$回繰り返すとき，各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}C\text{，}\mathrm{D}$に点$\mathrm{Q}$がある確率をそれぞれ求めよ．同様に上記の試行を$3$回および$4$回繰り返すとき，各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$に点$\mathrm{Q}$がある確率をそれぞれ求めよ．

(2)　表の出る確率$p$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きいコインを投げて，上記の試行を$2$回繰り返すとき，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のうち点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率が最大となることを示せ．同様に$3$回繰り返すとき，点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{D}$にある確率が最大となることを示せ．

【４】　$3$辺の長さがそれぞれ$\sqrt{x^2-2x}\text{，}4-x\text{，}2$で表される三角形がある．長さ$\sqrt{x^2-2x}$の辺は他の$2$辺より長さが短くないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　このような三角形が描けるための$x$の満たす範囲を求めよ．

(2)　この三角形の最短の辺と向かい合った角の大きさを$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．

(3)　$x$が(1)で求めた範囲にあるときの$\cos \theta$の最小値と，その最小値を与える$x$の値を求めよ．

【１】　$f(x)=x{e}^x$とおく．また$p$を$p\geqq 0$を満たす数とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,f(p))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$において$f(x)\geqq g(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　$L$を正の数とする．曲線$y=f(x)\text{，}$接線$y=g(x)\text{，}$および$2$直線$x=0\text{，}x=L$で囲まれた部分の面積を$S(p)$とするとき，$p\geqq 0$における$S(p)$の最小値を与える$p$の値を求めよ．

【２】　$p$を$0<p<1$を満たす数とし，行列$A\text{，}B\text{，}C$をそれぞれ

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1+p\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1-p& 0\end{array}\right)$

とおく．さらに，行列$A_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$A_1=A\text{，}{A}_{n+1}=A_{n}B-B{A}_n+C\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A_2\text{，}{A}_3$を求めよ．

(2)　$A_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)\text{，}{\Delta }_n=a_n{d}_n-b_n{c}_n$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\Delta }_n$を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を正の数とし，空間内の$3$点$\mathrm{A}(a,-a,b)\text{，}\mathrm{B}(-a,a,b)\text{，}\mathrm{C}(a,a,-b)$を考える．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha \text{，}$原点$\mathrm{O}$を中心とし$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る球面を$S$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{DC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$および$\overrightarrow{\mathrm{DO}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であることを示せ．また$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DO}}$のなす角を$\theta$とするとき$\sin \theta$を求めよ．また，平面$\alpha$に垂直で原点$\mathrm{O}$を通る直線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は平面$\alpha$上にはないものとする．

【４】　さいころを$3$回続けて投げて出た目を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．これらの数$a\text{，}b\text{，}c$に対して$2$次方程式

(＊)　$a{x}^2+bx+c=0$

を考える．ただし，さいころはどの目も同様に確からしく出るものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式(＊)が異なる二つの実数解をもつとき，積$ac$の取りうる値を求め，積$ac$の各値ごとに可能な$a$と$c$の組$(a,c)$がそれぞれ何通りあるかを求めよ．

(2)　$2$次方程式(＊)が異なる二つの有理数の解をもつ確率を求めよ．ただし，一般に自然数$n$が自然数の$2$乗でなければ$\sqrt{n}$は無理数であることを用いてよい．

【５】　関数$f(x)$が$0$でない定数$p$に対して，つねに$f(x+p)=f(x)$を満たすとき$f(x)$は周期関数であるといい，$p$を周期という．正の周期のうちで最小のものを特に基本周期という．たとえば，関数$\sin x$の基本周期は$2\pi$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=|\sin x|$のグラフをかき，関数$|\sin x|$の基本周期を求めよ．

(2)　自然数$m\text{，}n$に対して関数$f(x)$を$f(x)=|\sin mx|\sin nx$とおく．$p$が関数$f(x)$の周期ならば$f\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)=f(-{\displaystyle \frac{p}{2}})=0$が成り立つことを示せ．また，このとき$mp$は$\pi$の整数倍であり，$np$は$2\pi$の整数倍であることを示せ．

(3)　$m\text{，}n$は$1$以外の公約数をもたない自然数とする．(2)の結果を用いて関数$|\sin mx|\sin nx$の基本周期を求めよ．