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2007 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【1】 さいころを 2 回振って, 1 回目, 2 回目に出る目の数をそれぞれ A B とするとき, 2 次方程式 x 2-A x+B= 0 の解について,以下の問いに答えなさい.答えのみでなく,理由も述べなさい.

(1) 解が異なる 2 つの実数で,それらの差が 1 となる確率を求めなさい.

(2) 解が異なる 2 つの実数で,それらの差が自然数となる確率を求めなさい.

(3) 解のうち少なくとも 1 つが 3 より大きい実数となる確率を求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【2】 実数 x y z についての 5 つの条件

{ x>0 y>0 z> 0x+ y+z= 125 x-3 z=0

に対して,以下の問いに答えなさい.

(1) 実数 x y z が上記 5 つの条件をみたすとき,不等式 x< 92 が成り立つことを示しなさい.

(2) 実数 x y z が上記 5 つの条件をみたすとき,積 x yz x の関数 f (x) として表しなさい.

(3) 問(2)の f (x) の導関数 f (x ) を求めなさい.

(4) 上記 5 つの条件をみたす実数の組 (x, y,z) のうち,積 x yz を最大にするものを求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【3】 文字 x についての整式 P (x) を, 2 次式 x2 +2 x+1 で割ると余りが 5 x-2 で,別の 2 次式 x 2-3 x+2 で割ると余りが 2 x+1 であるとする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 整式 P (x) 2 次式 x2 -x-2 で割ったときの余りを求めなさい.

(2) 整式 P (x) 4 次式であるとし,かつ P (x) 1 次式 x で割り切れるとする.このとき,整式 P (x ) を求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

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【4】 いま a を実数として, 2 つの放物線

C1: y=x2

C2: y=- (x-a )2+ 1

を考える.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 放物線 C1 C2 が共有点を持つような a の値の範囲を求めなさい.

(2) 実数 a の値が問(1)で求めた範囲にあるとき,放物線 C1 C2 によって囲まれる図形の面積 S (a) を求めなさい.

(3) 実数 a の値が問(1)で求めた範囲を動くとき,面積 S (a ) の最大値を求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

都市教養,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【1】 条件 0 a1 をみたす実数 a に対して,連立不等式

{ y-| x|+a +2y |x |+a y2

の表す座標平面上の領域を D (a) とするとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 領域 D ( 1 2 ) を図示しなさい.

(2) 領域 D (a) x 軸の回りに 1 回転してできる立体の体積 V (a) を求めなさい.

(3) 条件 0 a1 のもとで,体積 V (a) が最大となるときの a の値を求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

都市教養,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【2】 いま n を自然数として,次の性質をもつ 2 つのルーレットがあるとする.ルーレット 1 をまわすと 0 1 2 12 n-1 12 n のいずれかの数が,それぞれ同じ確率 112n +1 で出る.ルーレット 2 をまわすと 3 n 6n のどちらかの数が,それぞれ同じ確率 12 で出る.さて 2 人の人物 A B が,これらのルーレットを用いて次のようなゲームをする.まず A がルーレット 1 をまわし,出た数を a とする.次に B がルーレット 2 をまわし,出た数を b とする.もし a 2b ならば A の勝ち,もし b 2a ならば B の勝ち,それらのいずれでもなければ引き分けとする.このとき A が勝つ確率を pn とし B が勝つ確率を qn として,以下の問いに答えなさい.答えのみでなく,理由も述べなさい.

(1) 確率 p1 および q1 を,それぞれ求めなさい.

(2) 確率 pn および qn を,それぞれ n を用いて表しなさい.

(3) 極限値 lim n p n および lim n q n を,それぞれ求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

都市教養,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【3】 以下の問いに答えなさい.

(1) 実数 a b x y に対して,不等式

(a x+b y)2 (a2 +b2 )( x2+ y2)

が成り立つことを示しなさい.

(2) 実数を成分とする 2 次の正方行列 A について,次の 2 つの命題(ア)と(イ)は同値であることを証明しなさい.

(ア)  行列 A は逆行列をもつ.

(イ) 条件 A ( x y) =( 0 0 ) をみたす実数 x y x= y=0 に限る.

(3) 実数 a b c d a2 +b2 +c2 +d2 <1 をみたすとき,行列

A=( a bc d ) E=( 1 0 01 )

に対して,行列 E- A は逆行列をもつことを示しなさい.

2007 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

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【1】 関数 f (x)= log(x +x2 +1 ) に対して,以下の問いに答えなさい.

(1) 関数 f (x) の導関数は

f (x)= 1 x2+ 1

であることを示しなさい.

(2) 関数 f (x) の第 2 次導関数を f (x ) とおくとき,

(x2 +1) f (x)+ xf (x) =0

が成り立つことを示しなさい.

(3) 任意の自然数 n に対して,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.

(x2 +1) f(n +1) (x) +(2 n-1) x f(n) (x )+( n-1) 2f (n-1 )( x)=0

ただし f (0) (0) =f( x) とし,自然数 k に対して f (k) (x ) f (x) の第 k 次導関数を表す.

(4) 値 f (9) (0) および f (10) (0) を求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

易□ 並□ 難□

2007年首都大学東京前期数理科学コース【2】の図

【2】 図のような立方体を考える.辺 AE AD の中点をそれぞれ P Q とし,辺 DC DR: RC=2: 1 に内分する点 R をとる.さらに a = EF b =EH c = EA とおく.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) ベクトル QP および QR をそれぞれ a b c を用いて表しなさい.

(2) 三角形 PQR において θ= PQR として cos θ の値を求めなさい.

(3) この立方体の一辺の長さを 1 とする.点 P Q R を通る平面を X として,点 E と平面 X との距離 l の値を求めなさい.

2007 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の点 (x, y) x y がともに整数であるものを格子点とよぶ.いま n 2 である整数 n に対して, 3 つの条件

{ x2+ y2< n2 x>0 y> 0

をみたす格子点 (x, y) の総数を P (n) で表す.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 不等式

k=1 n-1 ( n2- k2 -1) P(n )< k =1n -1 n 2-k 2

が成り立つことを示しなさい.

(2) 等式

limn P (n) n2 = π4

が成り立つことを示しなさい.

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