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2007-11311-0101
2007 横浜市立大 前期
医学部医学科
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) n を自然数とする.このとき,定積分
∫ 0π2 ⁡sin ⁡((2 ⁢n+1 )⁢θ) ⁢cos⁡θ ⁢dθ
の値を求めよ.
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(2)(ⅰ) 条件
1≦a≦ b≦3 ,1 ≦a<c ≦3
を満たす自然数の組 (a, b,c) の個数を求めよ.
(ⅱ) n を自然数とする.条件
1≦a≦ b≦n ,1≦a <c≦n
2007-11311-0103
【2】 cos⁡ ( 2 ⁢π5 ) の値を求めるために
cos⁡ ( 2 ⁢π5 ) =t
とおく.このとき,以下の問いに答えよ.ただし, 2⁢π= 360° である.
(1) cos⁡( π10 ) を t で表せ.
(2) すべての実数 θ に対して
cos⁡(5 ⁢θ)= P⁡(cos ⁡θ)
となる 5 次の多項式 P⁡ (x) を一つ求めよ.
(3) t の値を求めよ.
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【3】 行列
A=( a bc d )
の成分 a ,b ,c ,d はすべて正の実数とする.実数 t (0 ≦t≦1 ) に対し,ベクトル v t→ を
vt→ =( t 1-t )
とおく.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 区間 [0, 1] に値をとる連続関数 f⁡ (t) と正の値をとる連続関数 λ (t) で
A⁢v t→ =λ⁡ (t)⁢ vf⁡ (t) → (0 ≦t≦1 )
を満たすものを求めよ.
(2) A⁢v t0 →=λ ⁡(t0 )⁢ vt0 → を満たす t0 ( 0≦ t0≦ 1) が存在することを示せ.
(3) ベクトル w→ =( w1 w2 ) が, A⁢w →=λ ⁡(t0 )⁢w → を満たすとする.このとき, w→ は v t0 → の実数倍になっていることを示せ.
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【4】 座標平面上で曲線 C: y=x ( x> 0) を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 (a, b)( a> 0) を与えたとき,この点を通る曲線 C の接線が存在するための a ,b が満たすべき条件を求めよ.
(2) 点 P( 5 4, 12 ) から曲線 C 上の点 (t, t) における接線への垂線の長さ L⁡ (t) を求めよ.
(3) 関数 L⁡ (t) (t >0 ) の最小値を求めよ.