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2007-11491-0101
2007 名古屋市立大 前期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f1 ⁡(x ) および f2 ⁡(x ) を
f1⁡ (x)=- x2+ 1
f2⁡ (x)=- 54 ⁢ x2+ 10⁢x- 18
とし,関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=max⁡ {f1 ⁡(x) ,f2 ⁡(x) }
とする.ただし, c=max{ a,b} とは, c が a ,b の小さくない方と等しいことを表す.次の問いに答えよ.
(1) 関数 y= f⁡(x ) のグラフを描け.また,その最大値を求めよ.
(2) 関数 F⁡ (x) を
F⁡(x )= ∫xx +3 ⁡f⁡( t)⁢d t
と定義するとき, F⁡(x ) の最大値とそのときの x の値を求めよ.
2007-11491-0102
【2】 C ,N ,U の 3 つの文字から無作為に 1 文字選んでは左から右へ向かって 1 列に並べていく.なお同じ文字は何度使ってもよいものとする.次の問いに答えよ.
(1) 文字を 5 個並べたとき,「 NCU 」という連続した 3 文字が出現する確率を求めよ.
(2) 文字を 6 個並べたとき,「 NCU 」という連続した 3 文字が出現する確率を求めよ.
(3) 文字を 7 個並べたとき,「 NCU 」という連続した 3 文字が出現する回数を X とする. X の期待値を求めよ.
2007-11491-0103
【3】 O を原点とする xyz 座標空間において,点 A (1, 0,0) ,B (0, 2,0) ,C (0, 0,3) をとる.原点 O から線分 BC ,CA , AB に引いた垂線の足をそれぞれ P ,Q , R とする.次の問いに答えよ.
(1) 点 P ,Q ,R の座標を求めよ.また,線分の長さの比 BP: PC, CQ:QA , AR:RB を求めよ.
(2) ▵ARQ ,▵BPR ,▵ CQP それぞれの ▵ABC に対する面積比を求めよ.
(3) 四面体 OPQR と四面体 OABC の体積比を求めよ.
2007-11491-0104
(例) k=2 ,n= 2
のとき S2 =11
【4】 年齢 1 の 1 つの個体から始めて,以下の操作 1 ,2 を n 回おこなった後の全個体の年齢の合計を Sn とする.
操作 1. 年齢 1 の各個体から年齢 0 の k 個の個体を発生させる.ただし, k>1 とする.
操作 2. 全個体の年齢をそれぞれ 1 増やす.
次の問いに答えよ.
(1) k=2 のとき S4 を求めよ.
(2) 操作 1 ,2 を n 回行った後の平均年齢を An とするとき, An < kk-1 となることを示せ.