2007　名古屋市立大　後期経済学部

【１】　定数$a$に対し，次の不等式の表す領域を$D(a)$とする．

$y\leqq {(x-2)}^2\text{，}y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2ax-2a^2+a$

$0\leqq x\leqq 2\text{，}0\leqq y$

　次の問いに答えよ．

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のときの領域$D\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$を動くとき，$x+y$の最大値とその時の$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　定数$a>0$に対して，点$(x,y)$が領域$D(a)$を動くとき，$x+y$の最大値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君の間で以下のルールで$1$枚のコインを受け渡しする試行を考える．

ルール：「$1$つのサイコロを審判が振り奇数の目が出れば，コインを持っていた人がそのままコインを持ち続ける．$2$または$4$の目が出た場合はコインを持っていた人が$\mathrm{A}$君なら$\mathrm{B}$に渡し，$\mathrm{B}$君ならそのまま持ち続ける．$6$の目が出ればコインを持っていた人が$\mathrm{B}$君ならば$\mathrm{A}$君に渡し，$\mathrm{A}$君ならそのまま持ち続ける．」

　はじめコインは$\mathrm{A}$君が持っているとし，この試行を反復するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$回反復した後，$\mathrm{A}$君がコインを持っている確率を$a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$とする．$a_n$を$a_{n-1}$で表し，$a_n$を求めよ．ただし$a_0=1$とする．

(2)　$k$回目の試行でコインの移る確率を$p_k\text{（}k\geqq 1\text{）}$とする．$p_k$を$a_{k-1}$で表し，$p_k$を求めよ．

(3)　$3$回試行を反復したとき，コインの移る回数の期待値を求めよ．

【３】　行列$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$によって表される点$\mathrm{P}$の移動$\mathrm{P}\to f(\mathrm{P})$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　移動$f$による点$(-5,3)$の像を求めよ．

(2)　移動$f$で$(21,28)$に移される点を求めよ．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする．実数$a\text{，}b$に対し，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を$(a,{\displaystyle \frac{8}{7}})\text{，}({\displaystyle \frac{5}{7}},b)\text{，}(-{\displaystyle \frac{5}{7}},{\displaystyle \frac{3}{7}})$とし，また移動$f$による$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の像をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．四角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$が平行四辺形となるとき，$a\text{，}b$の値とそのときの平行四辺形の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=|x-3|\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減表を書き，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$0\leqq x\leqq 3$において曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=\alpha \text{（}\alpha \geqq 3\text{）}$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$S_1=S_2$を満たす$\alpha$および面積$S_1$を求めよ．