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2007-11556-0101
2007 大阪市立大学 前期
商・経済・医(看護)・
生活科学部
50点
易□ 並□ 難□
【1】 n は自然数とする.次の問いに答えよ.
問1 次の不等式を示せ.
(n+ 1)⁢( n+2) ⁢(n+ 3)3 <n+ 2
問2 次の不等式を示せ.
n+3< (n+ 1)⁢( n+4) ⁢(n+ 6)3
問3 次の不等式を示せ.
n+3≦ (n+ 2)⁢(n +3)⁢ (n+5 )3
問4 次の不等式を示せ.
n+3< (n+ 1)⁢( n+2) ⁢(n+ 3)⁢( n+4) ⁢(n+ 5)⁢( n+6) 6< n+ 72
2007-11556-0102
【2】 a ,b を定数とし, 0<a< 1 とする.関数 f⁡ (x)= x3+ 3⁢a⁢ x2+ b について,次の問いに答えよ.
問1 f⁡(x ) の極値を求めよ.
問2 区間 -2≦ x≦1 における f⁡ (x) の最大値が 1 , 最小値が -5 となるような a ,b の値を求めよ.
2007-11556-0103
【3】 次の問いに答えよ.
問1 四角形 ABCD において, ∠A=∠ B=90° ,CD=AD +BC とする.辺 AD , 辺 BC の長さをそれぞれ a ,b とするとき,辺 AB の長さを a ,b を用いて表せ.
問2 円 O1 , 円 O2 が点 P で外接しているとする.点 P を通らない円 O 1, 円 O2 の共通接線の 1 つを l とする.直線 l と円 O1 , 円 O2 で囲まれる図形の内部にある円で,円 O 1, 円 O2 に外接し,直線 l と接するものを O3 とする.円 O 1, 円 O2 の半径をそれぞれ x ,y とするとき,円 O3 の半径を x ,y を用いて表せ.
2007-11556-0104
【4】 さいころを 4 回続けて投げ,出た目の数をそれぞれ a ,b ,c ,d とする. xy 平面において,原点 O( 0,0) , 点 A( a,b) , 点 B( c,d) が同一直線上にないとき,三角形 OAB の面積を S とおく. 3 点 O ,A ,B が同一直線上にあるときは, S=0 とする.次の問いに答えよ.
問1 3 点 O ,A ,B が同一直線上にないとき,
S= 12⁢ |a ⁢d-b⁢ c|
を示せ.
問2 S≧15 となる確率を求めよ.
2007-11556-0105
理・工・医(医)学部
【1】 実数 a ,b ,c ,d は a⁢ d=b⁢ c, a⁢b⁢ c⁢d≠ 0 をみたすものとし, A=( a bc d ), B=( d -b -ca ) とおく.また,実数を成分とする 2 次の正方行列 X= (x y zw ) は零行列 O= ( 00 00 ) ではなく, A⁢X= X⁢A= O をみたすものとする.次の問いに答えよ.
問1 X は B の実数倍であることを示せ.
問2 実数を成分とする 2 次の正方行列 Y が X⁢ Y=Y⁢ X=O をみたせば, Y は A の実数倍であることを示せ.
2007-11556-0106
【2】 a ,b は定数とする.関数 f⁡ (x)= x4+ a⁢x3 +b⁢ x2 について,次の問いに答えよ.
問1 f⁡(x ) が x= 0 で極値をとるための必要充分条件は, b≠0 または a= b=0 であることを示せ.
問2 f⁡(x ) が x= 0 で極値をとり,さらに 0 以外の x で極値をとるための必要十分条件を a ,b を用いて表せ.
2007-11556-0107
問1 次の不定積分を求めよ.
∫ ⁡x⁢ sin⁡2⁢ x⁢dx
問2 次の不定積分を求めよ.
∫ ⁡x2 ⁢cos2 ⁡x⁢d x
問3 媒介変数 θ により
x=θ⁢ sin⁡θ ,y =θ⁢cos ⁡θ (0≦ θ≦ π2 )
と表された右図のような曲線と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2007-11556-0108
【4】 a>0 とする. xy 平面において,点 A( a,a2 ) における放物線 y= x2 の接線を l とする.第 1 象限に中心を持ち,点 A で直線 l と接する円のうち, x 軸とも接する円を C 1, y 軸とも接する円を C2 とする.円 C1 の中心を P 1 , 円 C1 と x 軸との接点を Q1 とし,円 C2 の中心を P 2, 円 C2 と y 軸との接点を Q2 とする.直線 l と x 軸との交点を R 1, 直線 l と y 軸との交点を R 2 とし, ∠P1 R1 Q1= θ とおく.次の問いに答えよ.
問1 Q2 R2= 2⁢Q 1R1 を示せ.
問2 P1 Q1= P2 Q2 となるときの tan⁡ θ の値を求めよ.
問3 P1 Q1= P2 Q2 となるような a の値を求めよ.