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2007 大阪市立大学 前期

商・経済・医(看護)・

生活科学部

50点

易□ 並□ 難□

【1】  n は自然数とする.次の問いに答えよ.

問1 次の不等式を示せ.

(n+ 1)( n+2) (n+ 3)3 <n+ 2

問2 次の不等式を示せ.

n+3< (n+ 1)( n+4) (n+ 6)3

問3 次の不等式を示せ.

n+3 (n+ 2)(n +3) (n+5 )3

問4 次の不等式を示せ.

n+3< (n+ 1)( n+2) (n+ 3)( n+4) (n+ 5)( n+6) 6< n+ 72

2007 大阪市立大学 前期

商・経済・医(看護)・

生活科学部

50点

易□ 並□ 難□

【2】  a b を定数とし, 0<a< 1 とする.関数 f (x)= x3+ 3a x2+ b について,次の問いに答えよ.

問1  f(x ) の極値を求めよ.

問2 区間 -2 x1 における f (x) の最大値が 1 最小値が -5 となるような a b の値を求めよ.

2007 大阪市立大学 前期

商・経済・医(看護)・

生活科学部

50点

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.

問1 四角形 ABCD において, A= B=90° CD=AD +BC とする.辺 AD BC の長さをそれぞれ a b とするとき,辺 AB の長さを a b を用いて表せ.

問2 円 O1 O2 が点 P で外接しているとする.点 P を通らない円 O 1 O2 の共通接線の 1 つを l とする.直線 l と円 O1 O2 で囲まれる図形の内部にある円で,円 O 1 O2 に外接し,直線 l と接するものを O3 とする.円 O 1 O2 の半径をそれぞれ x y とするとき,円 O3 の半径を x y を用いて表せ.

2007 大阪市立大学 前期

商・経済・医(看護)・

生活科学部

50点

易□ 並□ 難□

【4】 さいころを 4 回続けて投げ,出た目の数をそれぞれ a b c d とする. xy 平面において,原点 O( 0,0) A( a,b) B( c,d) が同一直線上にないとき,三角形 OAB の面積を S とおく. 3 O A B が同一直線上にあるときは, S=0 とする.次の問いに答えよ.

問1  3 O A B が同一直線上にないとき,

S= 12 |a d-b c|

を示せ.

問2  S15 となる確率を求めよ.

2007 大阪市立大学 前期

理・工・医(医)学部

50点

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a b c d a d=b c ab cd 0 をみたすものとし, A=( a bc d ) B=( d -b -ca ) とおく.また,実数を成分とする 2 次の正方行列 X= (x y zw ) は零行列 O= ( 00 00 ) ではなく, AX= XA= O をみたすものとする.次の問いに答えよ.

問1  X B の実数倍であることを示せ.

問2 実数を成分とする 2 次の正方行列 Y X Y=Y X=O をみたせば, Y A の実数倍であることを示せ.

2007 大阪市立大学 前期

理・工・医(医)学部

易□ 並□ 難□

【2】  a b は定数とする.関数 f (x)= x4+ ax3 +b x2 について,次の問いに答えよ.

問1  f(x ) x= 0 で極値をとるための必要充分条件は, b0 または a= b=0 であることを示せ.

問2  f(x ) x= 0 で極値をとり,さらに 0 以外の x で極値をとるための必要十分条件を a b を用いて表せ.

2007 大阪市立大学 前期

理・工・医(医)学部

50点

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.

問1 次の不定積分を求めよ.

x sin2 xdx

問2 次の不定積分を求めよ.

x2 cos2 xd x

2007年大阪市立大前期理系【3】の図

問3 媒介変数 θ により

x=θ sinθ y =θcos θ (0 θ π2 )

と表された右図のような曲線と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.



2007 大阪市立大学 前期

理・工・医(医)学部

50点

易□ 並□ 難□

【4】  a>0 とする. xy 平面において,点 A( a,a2 ) における放物線 y= x2 の接線を l とする.第 1 象限に中心を持ち,点 A で直線 l と接する円のうち, x 軸とも接する円を C 1 y 軸とも接する円を C2 とする.円 C1 の中心を P 1 C1 x 軸との接点を Q1 とし,円 C2 の中心を P 2 C2 y 軸との接点を Q2 とする.直線 l x 軸との交点を R 1 直線 l y 軸との交点を R 2 とし, P1 R1 Q1= θ とおく.次の問いに答えよ.

問1  Q2 R2= 2Q 1R1 を示せ.

問2  P1 Q1= P2 Q2 となるときの tan θ の値を求めよ.

問3  P1 Q1= P2 Q2 となるような a の値を求めよ.

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