2007 大阪府立大学 中期

Mathematics

Examination

Test

Archives

2007 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】 点 O を原点とする座標空間内に一辺の長さが r の正四面体 OABC がある. 2 O A を通る直線 l1 はベクトル u = (1,- 1,0) と平行で, 2 B C を通る直線 l2 は点 P (1, 3,2) を通るとする.次の問いに答えよ.

(1) ベクトルの内積 OA OB OA BC r を用いて表せ.

(2) 点 P から直線 l1 に垂線をおろし, l1 との交点を H とする.点 H の座標を求めよ.

(3)  r の値を求めよ.

(4) 線分 BC の中点を M とする.線分 OM の長さを求めよ.

(5) 線分 BC の中点 M の座標を求めよ.

((1),(2),(3),(4)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2007 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の 3 A( 3,0 )B (0, 1) P(X ,Y) を原点のまわりに θ 回転させた点をそれぞれ A B P とおく.ただし - π4< θ< π4 X> 0 Y>0 とする.次の各問いに答えよ.

(1)  2 A B を通る方程式

x 2a2 + y 2b2 =1 (*)

で表される楕円が存在するとき, a2 b2 θ を用いて表せ.

(2) (1)において θ のとりうる値の範囲を求めよ.

(3)  3 A B P を通る方程式(*)で表される楕円が存在するとき,点 P (X, Y) の存在範囲を座標平面上に図示せよ.

2007 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【3】  n 2 以上の自然数とする. n 桁の自然数 m

m=10 n-1 an +10 n-2 an -1+ +10 a2+ a1

と表す.ただし, ak k =1 n-1 0 以上 9 以下の整数であり, an 1 以上 9 以下の自然数とする.次の各問いに答えよ.

(1)  1 11 k=1 n (-1 )k- 1 ak が整数であることは m 11 で割り切れるための必要十分条件であることを証明せよ.

(2) 自然数 l= 9876543210123456789 11 で割り切れるどうか(1)を利用して判定せよ.

(3)  n=19 とする.自然数 m

a19= a1= 9

a18= a2= 8

a17= a3=7

a10= 0

かつ

a20- k= ak k =4 5 6 7 8 9

で表されているとする.ただし, a4 a5 a6 a 7 a8 a9 は相異なる 1 以上 6 以下の自然数である.このとき,自然数 m のうちで 11 で割り切れるものはいくつあるか答えよ.

2007 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数として fn (x )=sin xsin 2n x とおく.次の各問いに答えよ.

(1)  k k= 0 1 n-1 である整数とする. sinx= fn (x) を満たす区間 ( kn π, k+1 n π ) における x を求めよ.

(2) (1)で求めた解を xk とおく.点 (xk ,fn (x k)) において 2 曲線 y= sinx y= fn (x) は共通の接線をもつことを示せ.

(3) 積分 Sn = 0 π fn (x) dx を求めよ.

(4)  3 ( k n π , 0) ( xk ,fn ( xk )) ( k+1 n π, 0) を頂点とする三角形の面積を Tk とする.このとき, limn 1 Sn k=0 n-1 T k を求めよ.