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2007-11561-0201
2007 大阪府立大学 中期
工学部
易□ 並□ 難□
【1】 点 O を原点とする座標空間内に一辺の長さが r の正四面体 OABC がある. 2 点 O , A を通る直線 l1 はベクトル u →= (1,- 1,0) と平行で, 2 点 B ,C を通る直線 l2 は点 P (1, 3,2) を通るとする.次の問いに答えよ.
(1) ベクトルの内積 OA →⋅ OB→ , OA→ ⋅BC → を r を用いて表せ.
(2) 点 P から直線 l1 に垂線をおろし, l1 との交点を H とする.点 H の座標を求めよ.
(3) r の値を求めよ.
(4) 線分 BC の中点を M とする.線分 OM の長さを求めよ.
(5) 線分 BC の中点 M の座標を求めよ.
((1),(2),(3),(4)については計算の過程を記入しなくてよい.)
2007-11561-0202
【2】 xy 平面上の 3 点 A( 3,0 ),B (0, 1), P(X ,Y) を原点のまわりに θ 回転させた点をそれぞれ A ′ ,B ′ ,P ′ とおく.ただし - π4< θ< π4 ,X> 0, Y>0 とする.次の各問いに答えよ.
(1) 2 点 A′ , B′ を通る方程式
x 2a2 + y 2b2 =1 (*)
で表される楕円が存在するとき, a2 ,b2 を θ を用いて表せ.
(2) (1)において θ のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) 3 点 A′ , B′ , P′ を通る方程式(*)で表される楕円が存在するとき,点 P (X, Y) の存在範囲を座標平面上に図示せよ.
2007-11561-0203
【3】 n は 2 以上の自然数とする. n 桁の自然数 m を
m=10 n-1 ⁢an +10 n-2 ⁢an -1+ ⋯+10⁢ a2+ a1
と表す.ただし, ak (k =1 ,⋯ ,n-1 ) は 0 以上 9 以下の整数であり, an は 1 以上 9 以下の自然数とする.次の各問いに答えよ.
(1) 1 11⁢ ∑ k=1 n⁡ (-1 )k- 1⁢ ak が整数であることは m が 11 で割り切れるための必要十分条件であることを証明せよ.
(2) 自然数 l= 9876543210123456789 は 11 で割り切れるどうか(1)を利用して判定せよ.
(3) n=19 とする.自然数 m は
a19= a1= 9,
a18= a2= 8,
a17= a3=7 ,
a10= 0
かつ
a20- k= ak (k =4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 )
で表されているとする.ただし, a4 , a5 ,a6 ,a 7 ,a8 , a9 は相異なる 1 以上 6 以下の自然数である.このとき,自然数 m のうちで 11 で割り切れるものはいくつあるか答えよ.
2007-11561-0204
【4】 n を自然数として fn ⁡(x )=sin⁡ x⁢sin 2⁡n ⁢x とおく.次の各問いに答えよ.
(1) k は k= 0, 1, ⋯, n-1 である整数とする. sin⁡x= fn⁡ (x) を満たす区間 ( kn ⁢ π, k+1 n⁢ π ) における x を求めよ.
(2) (1)で求めた解を xk とおく.点 (xk ,fn ⁡(x k)) において 2 曲線 y= sin⁡x と y= fn⁡ (x) は共通の接線をもつことを示せ.
(3) 積分 Sn = ∫0 π⁡ fn⁡ (x)⁢ dx を求めよ.
(4) 3 点 ( k n⁢ π , 0) ,( xk ,fn ⁡( xk )) , ( k+1 n⁢ π, 0) を頂点とする三角形の面積を Tk とする.このとき, limn →∞ ⁡ 1 Sn ⁢ ∑ k=0 n-1 ⁡T k を求めよ.