2007　東北学院大学　前期経済(経済),教養(言語文化)学部MathJax

【１】　$2$次関数$y=a{x}^2-2ax+b$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b$は定数で$a\ne 0$である．

(ⅰ)　$C$の頂点の座標を求めよ．

(ⅱ)　$C$と$x$軸が点$(5,0)$で交わるとき，$C$と$x$軸との他の交点の座標を求めよ．

(ⅲ)　この関数の$0\leqq x\leqq 3$における最大値が$5\text{，}$最小値が$-3$であるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅳ)　$C$を$x$軸方向に$1\text{，}y$軸方向に$2$平行移動した放物線が，点$(0,8)$を通り$x$軸に接するとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を$\mathrm{AM}=2\text{，}\mathrm{AN}=4$となるようにとるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{MN}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{DMN}$の外接円の半径$R$を求めよ．

(ⅲ)　四面体$\mathrm{AMND}$の体積を求めよ．

【３】　$5^x=\sqrt{3^y}=\sqrt[3]{2^z}=\sqrt[4]{{30}^w}\text{，}xyzw\ne 0$のとき，等式

${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{4}{w}}$

がなりたつことを証明せよ．

【４】　関数$y=x^3-3(a+1)x^2+12ax+4a$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．

(ⅰ)　この関数が極値を持つための$a$の条件を求めよ．またそのときの極値を求めよ．

(ⅱ)　この関数のグラフが$x$軸と$1$点のみを共有するように，$a$の値の範囲を定めよ．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺上を，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$から出発し毎秒$1$の速さで移動している．$\mathrm{P}$が$1$つの頂点から他の$3$頂点それぞれに移動する確率はどれも${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　$3$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率

(ⅱ)　$3$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$に到達する確率

(ⅲ)　$4$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{C}$に到達する確率

【６】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(3,3,1)\text{，}\mathrm{C}(2,4,2)$がある．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　原点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．