2007　東北学院大学　前期工(機械知能工,電子工学科)学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =\boxed{\text{（ア）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　${\log }_{2}x+2{\log }_4(x+7)-{\log }_2(5x+8)\leqq 0$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{（イ）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$x\text{，}y$が$4$つの不等式

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+2y\leqq 6\text{，}2x+y\leqq 9$

を満たしながら動くとき，$x+y$の最大値は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【２】　${(x+2)}^{20}$を展開したときの$x^r$の係数を$f(r)$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(r)$を$r$の式で表わせ．

(ⅱ)　$0\leqq r\leqq 19$のとき，等式

$f(r+1)-f(r)={\displaystyle \frac{20!·2^{19-r}}{(20-r)!(r+1)!}}g(r)$

を満たす$g(r)$を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)を利用して$f(r)$を最大にする$r$の値を求めよ．

【３】　空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,4)$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AB}$を$p:1-p\text{（}0<p<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PC}$を$q:1-q\text{（}0<q<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標を$p\text{，}q$を用いて表わせ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OQ}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から定まる平面への垂線となっているとき，点$\mathrm{Q}$の座標および線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)\cos x+\sin x-{\displaystyle \frac{x}{4}}(x-\pi )\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx$を求めよ．