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2007-13331-0201
2007 学習院大学 理学部
30点
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】 自然数 n に対して
Sn= 1+ 12+ 13+ ⋯+1 n
とおく. n≧2 のとき,等式
∑ k=2 n⁡ 1 k⁢(k -1) ⁢S k=2- 1n - 1n⁢ Sn
が成り立つことを示せ.
2007-13331-0202
40点
【2】 不等式 y≦ 1 3 ⁢x 3-x 2 の表す平面上の領域を R とし,曲線 y= 1 3⁢ x3 -x2 上に点 A (t ,1 3 ⁢t3 -t2 ) をとる.
(1) 次の条件(ⅰ),(ⅱ)を同時に満たす点 B ,C が存在するような t の範囲を求めよ.
(ⅰ) 三角形 ABC は正三角形であり, R に含まれる.
(ⅱ) 辺 BC は x 軸に平行である.
(2) t が(1)の範囲を動くとき,(1)の条件を満たす正三角形 ABC の面積の最大値を求めよ.
2007-13331-0203
【3】 x の方程式
a⁢cos2 ⁡x+4 ⁢sin⁡x -3⁢a +2=0
が解をもつような実数 a の範囲を求めよ.
2007-13331-0204
【4】 点 (0, 3) を中心とする半径 1 の円板の y≧ 52 にある部分を x 軸のまわりに 1 回転して得られる立体の体積を求めよ.