2007 慶応義塾大学 看護医療学部MathJax

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2007 慶応義塾大学 看護医療学部

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(1)  (3 x-1) 5 の展開式における x2 の係数は (ア) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(2)  tan75 ° の値を求めると, tan 75°= (イ) である.

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2月13日実施

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(3)  ( 5 9) 100 は小数第 (ウ) 位に初めて 0 でない数が現れる.ただし, log 102 =0.3010 log10 3=0.4771 とする.

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2月13日実施

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(4) 赤球が 4 個,白球が 6 個入った袋から同時に 5 個の球を取り出すとき,白球が 2 個以上である確率は (エ) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(5) 多項式 x2007 +2 x+13 (x+ 1)(x -1) で割ったときの余りは (オ) である.

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【2】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(1)  2 次方程式 x2 +(2 -4x )x+ k+1= 0 が正の重解をもつとする.このとき,定数 k の値は k= (カ) であり, 2 次方程式の重解は x= (キ) である.

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【2】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(2) ベクトル a b について, |a | =2 | b | =1 | a +3 b |= 3 とする.このとき,内積 a b の値は a b = (ク) である.また t が実数全体を動くとき | a +tb | の最小値は (ケ) である.

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【2】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(3) 関数 f (x)= 2x (x -t) t dt x の式で表すと f (x) = (コ) である.また,この関数 f (x) -3 x3 における最大値は (サ) である.

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【2】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(4) 次の条件で定められる数列 {an } の一般項を求めたい.

a1= 1 an+ 1= a n2 an+ 3 n= 1 2 3

 ここで bn = 1an とおき, bn+ 1 bn を用いて表すと, bn+ 1= (シ) と表せる.これを利用すると,数列 { an} の一般項は a n= (ス) であることがわかる.

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【2】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.

(5) 放物線 y= x2- 5x+ 8 に点 (3 ,1) から 2 本の接線を引く.この 2 本の接線のうち,傾きが正である方を l とし,傾きが負である方を m とする.このとき,接線 l の方程式は y= (セ) である.また,この放物線と 2 本の接線 l m で囲まれた部分の面積は (ソ) である.

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【3】 次の   にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい.

 三角形 ABC において, AB= 5 AC=3 A= 120° のとき, BC= (タ) であり,三角形 ABC の面積は (チ) である.また,三角形 ABC の内接円の半径は (ツ) であり,外接円の半径は (テ) である.

 さて,この三角形 ABC の内心を I とし,外心を O とするとき,線分 IO の長さを求めてみよう.

 内心 I から辺 AB に垂線 ID を下ろすと, AD= (ト) ID = (ナ) である.同様に,外心 O から辺 AB に垂線 OE を下ろすと, AE= (ニ) OE= (ヌ) である.

 よって DE= (ネ) などから, IO= (ノ) であることがわかる.

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2007年慶応義塾大看護医療学部【4】の図

【4】  1 辺の長さが 3 である正方形の折り紙 ABCD がある.ここで,辺 BC 上の(点 B C とは異なるような)点 P に対して,折り紙の頂点 A が点 P と重なるように折り紙を折ったときの,辺 AB と折り目との交点を Q とする.

 次の問いに答えなさい.

(1) 線分 BP の長さを x とする.(ただし 0< x<3 とする.)このとき,線分 BQ の長さを x を使って表しなさい.また,三角形 BPQ の面積 S x を使って表しなさい.

(2) 線分 BP の長さ x 0< x<3 を動くとき,三角形 BPQ の面積 S の最大値を求めなさい.また, S を最大にする x の値も求めなさい.

(3) 三角形 BPQ の面積 S が最大となるような位置に点 P があるとする.このとき,三角形 BPQ はどのような三角形であるかを,図をかいて説明しなさい.

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【5】 座標空間内に,原点 O 3 A( 9,0, 0) B( 0,12, 0) C( 0,0, 5) を頂点とする四面体 OABC がある.この四面体 OABC において,例えば

OA B OC A O (*)

のように,原点 O を出発し,辺にそって頂点をたどり,最後に原点 O に戻る道順を考える.このような道順に対し,通る辺の長さの総和をその道順の長さということにする.(例えば,上に挙げた道順(*)の長さでは辺 OA の長さを 2 回数える.)

 次の問いに答えなさい.

(1) 上に挙げた道順(*)の長さを求めなさい.

(2) 四面体 OABC の原点 O を出発し原点 O に戻る道順を考える.これらの道順のうち,辺 AC 1 回も通らず,それ以外の 5 辺のすべてを少なくとも 1 回は通るが,いずれも辺も 3 回以上は通らない道順の長さは全部で何種類あるか答えなさい.また,それらの長さをすべて求めなさい.

(3) 四面体 OABC 6 辺のすべてを少なくとも 1 回は通る,原点 O を出発し原点 O に戻る道順の長さの最小値を求めなさい.

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