2007 慶応義塾大学 理工学部MathJax

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2007 慶応義塾大学 理工学部

2月14日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  h>0 とする.実数 a に対して,

F(a )= -h h ( ex-a )2 dx

を考える. F(a ) を最小にするような a A (h) とするとき, A( h)= (ア) lim h0 A (h) = (イ) である.

 次に,関数 g (x) ={ 0 x<0 のとき) x+x 2 x 0のとき) と,実数 b c に対して,

G(b ,c)= -h h {g (x)- bx- c}2 dx

を考える. G(b ,c) を最小にするような b c をそれぞれ B (h) C (h) とすれば, limh 0 B (h)= (ウ) lim h0 C (h) = (エ) である.

2007 慶応義塾大学 理工学部

2月14日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2) 正 9 角形の 3 つの頂点でできる C 39 =84 個の三角形のうち,鈍角三角形の個数は (オ) 個である.一般に,正整数 n に対して,正 2 n+1 角形の 3 つの頂点でできる鈍角三角形は,全部で (カ) 個ある.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【2】(1)  2 つの行列 A P

A=( a bb a ) P=( 1 1 1k )

とする.ただし, a b k はいずれも実数で, b0 であり, P は逆行列 P -1 をもつとする.このとき, α β を実数として

P-1 A P=( α 0 0β )

となるように定数 k の値を定めると, k= (キ) である.また, α β a b を用いて表すと, α= (ク) β = (ケ) となる.したがって,行列 A n 個の積 An

An= ( γδ δ γ )

とすると, a b n を用いて, γ= (コ) δ= (サ) と表すことができる.

(2)  t- 12 であるような実数 t に対し,行列 A と,座標平面上の点 Q n( xn ,yn ) n=0 1 2 を, x0 =2 y0 =0

A=( 7t +22 t+1 2 t+1 7t+ 2) ( x n yn )=A ( x n-1 y n-1 ) n 1

と定義する.このとき,すべての n について xn >yn を満たす t の値の範囲を不等式で表すと, (シ) となる.この場合, n としても点 Qn は原点には近づかない. n のときに点 Qn が原点に限りなく近づくような t の値の範囲を不等式で表すと, (ス) となる.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

2007年慶應義塾大理工学部【3】の図

【3】 右の図のように,座標平面上に 2 A ( 1,0) B( 14 ,3 4) が与えられている.また,原点 O を中心とした半径 1 の円周上に, AOP 0 以上 π3 以下であるような点 P がある.

 いま,動点 X が,点 A を出発し,円周に沿って反時計回りに点 P に至り,その後線分 PB に沿って点 B に移動する.ただし,円周上では速さ 1 で移動し,線分 PB 上では速さ k k>0 で移動するものとする. POB= θ( 0θ π3 ) とし,動点 X A から B へ至る所要時間を f (θ ) とする.

(1) 線分 PB の長さを cos θ を用いて表すと, (セ) となる.

(2)  f(θ ) の導関数は

f( θ)= -1+ 1k × (ソ)

となる.

(3)  f(θ ) θ= π 3 のとき最小となるためには, k (タ) となることが必要十分である.

(4)  BPO= α とおくとき, sinα θ の式で表すと, sinα = (チ) となる.

 また, 0<k< (タ) とするとき, f(θ ) が最小となるように θ を選ぶと, α k の間には, (ツ) という関係式が成立する.

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2月14日実施

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【4】(1) 不定積分を計算して

x2 ex dx =( (テ) ) ex +C C は積分定数)

を得る.

(2) 座標空間内で,各時刻 t において 2 つの動点 ( t,t et, 0) ( 0,t et, 1) を結ぶ直線を考える.時刻 t 0 から 2 まで進むとき,この直線群が作る曲面と xy 平面, yz 平面,平面 y= 2e 2 によって囲まれる立体を D とする.

 平面 z=a 0 a1 による D の断面積を S (a) とするとき,

S(0 )= (ト) S (a)= S(0 )×( (ナ) )

である.よって D の体積は 01 S (a) da= (ニ) である.

 次に,立体 D y 軸のまわりに 1 回転させて得られる回転体 K の体積について考える. y=f (x) =xe x 0 x2 とおいて, f-1 f の逆関数とする.このとき,回転体 K の体積 V

V=π 0 (ヌ) dy+ (ヌ) 2e2 { f-1 (y ) } 2d y

と表せる.ここで, x=f -1 (y ) であることに注意して置換積分法を適用した上で,(1)の不定積分などを用いて, V= (ネ) を得る.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【5】(1)  cos3 θ=f (cosθ ) を満たす 3 次式 f (x) と, cos4 θ=g (cos θ) を満たす 4 次式 g (x) を求めなさい.また,多項式 h (x) で,

(x-1 )h (x)= g(x )-f (x)

を満たすものを求めなさい.解答欄には答だけを書くこと.

(2)  h(x ) を(1)で求めた多項式とする. 0θ π とするとき, h( cosθ )=0 であるためには, θ= 2π 7 または 4π 7 または 6π 7 であることが必要十分であることを証明しなさい.

(3)  cos 2π 7+ cos4 π7 +cos 6π 7 の値を求めなさい.値だけでなく,なぜそうなるのかも書くこと.

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