2007　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　自然数$n$に対して，数列${(2n-1)}^2\text{，}2{(2n-2)}^2\text{，}3{(2n-3)}^2\text{，}\cdots \text{，}n{(2n-n)}^2$の和を求めると，

${\displaystyle \frac{n^2(n+\boxed{\text{(1)}})(\boxed{\text{(2)}\text{(3)}}n-\boxed{\text{(4)}})}{\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}}}$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　関数$y={({\log }_{2}x)}^2+{\log }_4{\displaystyle \frac{x^8}{4}}$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)}}}}$において最小値$-\boxed{\text{(9)}}$をとる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅲ)　$2$つの放物線$y=x^2$と$y=-{(x-K)}^2+L$がある点で共通の接線をもつための必要十分条件を$K$と$L$を用いて表せ．

$\boxed{\text{(ア)}}$

【２】　一辺の長さが$1$である正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$（ただし，$0<t<1$）に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を使って表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AF}}$

である．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PM}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}\text{，}$実数$t$を使って表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{PM}}=\boxed{\text{(イ)}}$

である．

(ⅲ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PM}}$の内積を求めると，

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}}}}-\boxed{\text{(17)}}t$

である．従って$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}}}}$であるとき，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{PM}$は垂直である．

【３】　ある商店では$2$種の商品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通信販売していて，注文する客は必ずいずれかの商品$1$個のみを注文するものとする．$\mathrm{B}$の価格は$100$円である．$\mathrm{A}$の価格が$x$円（ただし，$40\leqq x\leqq 140$）であるときに客が$\mathrm{A}$を注文する確率は$-{\displaystyle \frac{1}{100}x+\frac{7}{5}}$である．また，客は注文する時点では在庫の有無を知りえず，注文した商品が品切れであるときは商品の売買は行われないものとする．

(ⅰ)　商品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$共に$1$個以上の在庫があるとする．$1$人の客が注文したときの売上金額の期待値を$\mathrm{A}$の価格$x$を用いて表すと，

${\displaystyle -\frac{\boxed{\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}\text{(22)}\text{(23)}}}{x}^2+\frac{\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}}x-\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}$（円）

である．これが最大となる$\mathrm{A}$の価格は$x_0=\boxed{\text{(29)}\text{(30)}\text{(31)}}$（円）であり，このとき客が$A$を注文する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(32)}}}{\boxed{\text{(33)}}}}\text{，}$売上金額の期待値は$\boxed{\text{(34)}\text{(35)}\text{(36)}}$円である．

(ⅱ)　商品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の在庫はそれぞれ$2$個，$3$個であるとし，$3$人の客が順に注文するものとする．

(1)　商品$\mathrm{A}$の価格を(ⅰ)で求めた$x_0$円としたとする．このとき，$3$人の客に対する売上金額の合計が$300$円以上である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}\text{(41)}\text{(42)}}}}$である．また，$3$人の客に対する売上金額の合計の期待値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}\text{(45)}\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}\text{(48)}}}}$円

である．

(2)　商品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が共に$1$個以上売れる確率が${\displaystyle \frac{12}{25}}$以上となる$\mathrm{A}$の価格$x$の範囲を求めよ．

$\boxed{\text{(ウ)}}$

【４】　ある特別なオリーブオイルを独占的に販売している企業$\mathrm{A}$について考えよう．企業$\mathrm{A}$は，このオリーブオイルの$1$年間の販売量が$u$本であるとき，販売期間中の$1$本あたりの価格$p$円を

$p=9000-30u$(1)

と定める．ただし，$u$は条件$0\leqq u\leqq 300$を満たすものとする．企業$\mathrm{A}$がオリーブオイルをこの価格で販売したとき，オリーブオイルは売れ残らないものとする．企業$\mathrm{A}$はオリーブオイルの年間販売額が最大になるように販売量$u$を定める．

(ⅰ)　オリーブオイルの年間販売金額を最大にする販売量$u$は$\boxed{\text{(49)}\text{(50)}\text{(51)}}$（本）である．

　次に，ある希少なキノコの販売に世界で初めて成功した企業$\mathrm{B}$についても考えよう．このキノコは$1$年のうち限られた期間のみ収穫される．収穫は時点$0$で開始し，時点$6$で終了する．また，収穫期におけるキノコの収穫量は時期により変化する．そこで，時点$t$（ただし，$0\leqq t\leqq 6$）におけるキノコの単位時間あたりの収穫量を$v(t)\text{kg}$で表すことにする．企業$\mathrm{B}$は時点$t$において，収穫したキノコを$1\text{kg}$あたり$q(t)=24000-300v(t)$（円）で販売する．そのとき，そのキノコはすぐに売り切れるものとする．ここで，キノコの収穫量$v(t)$はキノコの栽培規模を表す実数$M$を用いて，$v\left(t\right)=M(1-|1-{\displaystyle \frac{1}{3}}t\left|\right)$で表されるとする．ただし，栽培上の技術的な理由で，$\mathrm{M}$は条件$0\leqq M\leqq 80$を満たす必要がある．キノコの年間販売金額は，収穫量$v(t)$と価格$q(t)$との積を$0$から$6$まで積分して得られるものとし，企業$\mathrm{B}$はキノコの年間販売金額が最大になるように栽培規模$M$を定める．

(ⅱ)　このとき，企業$\mathrm{B}$が定めるキノコの栽培規模$M$は$\boxed{\text{(52)}\text{(53)}}$である．

　さて，今までは知られていなかったが，ある料理家が，企業$\mathrm{A}$が販売するオリーブオイルと企業$\mathrm{B}$が栽培するキノコが実に相性が良いことを発見し，両者を使ってなんともおいしい料理を創作したとしよう．この料理が人気になったため，企業$\mathrm{A}$が販売するオリーブオイルが簡単に手に入るほど企業$\mathrm{B}$が栽培するキノコの価値も高まり，キノコはより高い価格で売れることがわかった．そこで企業$\mathrm{B}$は，オリーブオイルの$1$年間の販売量が$u$本で，時点$t$におけるキノコの単位時間あたりの収穫量が$v(t)\text{kg}$であるとき，キノコ$1\text{kg}$あたりの価格$q(t)$円を

$q(t)=(24000-300v(t))(1+{\displaystyle \frac{u}{300}})$(2)

で定めることにした．ここでも，企業$\mathrm{B}$が収穫したキノコをこの価格で販売したとき，そのキノコはすぐに売り切れるものとする．一方企業$\mathrm{A}$は，今までと同様にオリーブオイル$1$本あたりの価格$p$円を式(1)で定める．

(ⅲ)　新しい料理が知られた後でも，企業$\mathrm{A}$のオリーブオイルの販売量$u$は(ⅰ)で求めたままであるとすると，企業$\mathrm{B}$は，キノコの年間販売額を最大にするために，栽培規模$M$を$\boxed{\text{(54)}\text{(55)}}$と定める．

　最後に，企業$\mathrm{A}$が企業$\mathrm{B}$を吸収合併したとしよう．合併後の企業$\mathrm{A}$は，今までと同様にオリーブオイル$1$本あたりの価格$p$円を式(1)で，キノコ$1\text{kg}$あたりの価格$q(t)$円を式(2)で定める．そして企業$\mathrm{A}$は，オリーブオイルとキノコの年間販売金額の和を最大にするように，オリーブオイルの販売量$u$とキノコの栽培規模$M$を定める．ただし，ある事情により，上述の条件$0\leqq u\leqq 300$と$0\leqq M\leqq 80$のほかに，$u+5M=450$という条件も満たすことが必要になったとする．

(ⅳ)　このとき，企業$\mathrm{A}$が定めるオリーブオイルの販売量$u$は$\boxed{\text{(56)}\text{(57)}\text{(58)}}$（本）で，キノコの栽培規模$M$は$\boxed{\text{(59)}\text{(60)}}$である．

(ⅴ)　企業$\mathrm{A}$が企業$\mathrm{B}$を吸収合併することにより，オリーブオイルの年間販売金額，キノコの年間販売金額，および，それらの和が，それぞれどう変化するかを調べよう．そのために，(ⅲ)から定まる年間販売金額と(ⅳ)から定まる年間販売金額を比較する．以下の各空欄には，「増加する」が適する場合は$1$を，「変わらない」が適する場合は$2$を，「減少する」が適する場合は$3$を入れよ．オリーブオイルの年間販売金額は$\boxed{\text{(61)}}\text{．}$キノコの年間販売金額は$\boxed{\text{(62)}}\text{．}$両者の和は$\boxed{\text{(63)}}\text{．}$