2007　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】

(1)　$x\text{，}y$を整数とする．$2$つの不等式

• ${\displaystyle \frac{1}{xy}\geqq \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}\text{，}$
• ${\displaystyle \frac{1}{x(x+y)}\geqq \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{(x+y)}^2})}$

が同時に成り立たないことを示す．もし同時に成り立つとすると

$\sqrt{5}(x^2+2xy)\geqq \boxed{\text{(1)}}{x}^2+\boxed{\text{(2)}}xy+\boxed{\text{(3)}}{y}^2$

であるから

${(\boxed{\text{(4)}}y-(\sqrt{\boxed{\text{(5)}}}-\boxed{\text{(6)}})x)}^2\leqq 0$

となる．これは$\sqrt{\boxed{\text{(7)}}}$が無理数であることに矛盾する．

【１】

(2)　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,3)$が与えられ，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$との距離をそれぞれ$t\text{，}u\text{，}v$とする．$t^2+u^2+v^2$が最小となるのは$\mathrm{P}$の座標が

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{(8)}}}{\boxed{\text{(9)}}},\frac{\boxed{\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}})}$

のときであり，その最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}\boxed{\text{(13)}}}{\boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}}}$である．

【２】　赤色のカードが$5$枚あり，$1$から$5$まで番号が付いている．白色のカードも$5$枚あり，$1$から$5$まで番号が付いている．いま$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の$5$人にそれぞれ赤と白の$2$枚のカードを分け与えた．このとき次の条件が満たされていた．

• (a)　$\mathrm{A}$は赤の$4$をもらった．
• (b)　$\mathrm{C}$の$1$つの番号は$\mathrm{B}$の赤の番号であり，もう$1$つの番号は$\mathrm{D}$の白の番号である．
• (c)　$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の赤と白のカードの番号をすべてあわせれば$1\text{，}3\text{，}5$が$2$度ずつ現れる．
• (d)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$は，赤の番号が白の番号より大きい．
• (e)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の赤と白のカードの番号をすべてあわせれば$1$から$5$がすべて現れ，$1$が重複する．

　これらの条件を満たす分け方は次の$2$通りである．ただし，ある人が赤の$3$と白の$5$をもらったときは，$(3,5)$と記述し，以下の解答では$\boxed{\text{(20)}}>\boxed{\text{(28)}}$とする．

• $\mathrm{A}:(\boxed{\text{(16)}},\boxed{\text{(17)}})\text{，}\mathrm{B}:(\boxed{\text{(18)}},\boxed{\text{(19)}})\text{，}\mathrm{C}:(\boxed{\text{(20)}},\boxed{\text{(21)}})\text{，}$
• $\mathrm{D}:(\boxed{\text{(22)}},\boxed{\text{(23)}})\text{，}\mathrm{E}:(\boxed{\text{(24)}},\boxed{\text{(25)}})$

または

• $\mathrm{A}:(\boxed{\text{(16)}},\boxed{\text{(17)}})\text{，}\mathrm{B}:(\boxed{\text{(26)}},\boxed{\text{(27)}})\text{，}\mathrm{C}:(\boxed{\text{(28)}},\boxed{\text{(29)}})\text{，}$
• $\mathrm{D}:(\boxed{\text{(30)}},\boxed{\text{(31)}})\text{，}\mathrm{E}:(\boxed{\text{(24)}},\boxed{\text{(25)}})$

【３-1】　次の計算をしなさい．

(1)　

• ${\displaystyle 1+1+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{5}{16}+\cdots +\frac{n}{2^{n-1}}+\cdots +\frac{21}{2^{20}}}$
• $=\boxed{\text{(33)}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(34)}}\boxed{\text{(35)}}}{2^{20}}}$

(2)　

• ${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}+\cdots +\frac{1}{10\cdot 11\cdot 12}}$
• $={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(36)}}\boxed{\text{(37)}}\boxed{\text{(38)}}}{\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}}\boxed{\text{(41)}}}}$

【３-2】　次のプログラムは$2$以上の自然数 A を与えたとき，A のすべての素因数とその個数を求めるものである．A が素数の場合は，素数と表示する．プログラムの中の空欄には選択肢から最も適切なものを選びその番号を答えなさい．

• 100 INPUT PROMPT "A=" : A
• 110 LET S=0
• 120 LET J=2
• 130 LET K=0
• 140 LET Q= $\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}$(A / J)
• 150 LET R=A- $\boxed{\text{(44)}}\boxed{\text{(45)}}$ *J
• 160 IF R>0 THEN GOTO $\boxed{\text{(46)}}\boxed{\text{(47)}}$
• 170 LET K=K+1
• 180 LET A=Q
• 190 GOTO $\boxed{\text{(48)}}\boxed{\text{(49)}}$
• 200 LET S=S+K
• 210 IF K>0 THEN PRINT J;"が" ; K ; "個"
• 220 J=J+1
• 230 IF A>=J THEN GOTO $\boxed{\text{(50)}}\boxed{\text{(51)}}$
• 240 IF $\boxed{\text{(52)}}\boxed{\text{(53)}}$ =1 THEN PRINT "A は素数 "
• 250 END

[選択肢]

• (01)　A
• (02)　S
• (03)　J
• (04)　K
• (05)　Q
• (06)　R
• (07)　THEN
• (08)　LET
• (09)　RUN
• (10)　GOTO
• (11)　NEXT
• (12)　FOR
• (13)　ABS
• (14)　INT
• (15)　100
• (16)　110
• (17)　120
• (18)　130
• (19)　140
• (20)　150
• (21)　160
• (22)　170
• (23)　180
• (24)　190
• (25)　200
• (26)　210
• (27)　220
• (28)　230
• (29)　240
• (30)　250

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の各辺を$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$とし，$2s=a+b+c\text{，}t=a+b\text{，}u=ab$とする．三角形の面積$S$はヘロンの公式により

$S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$

を満たす．右辺を変形すると

$S^2=-s(s^2-st+u)(\boxed{\text{(54)}}s-\boxed{\text{(55)}}t)$

となる．このとき三角形の成立条件から$s<t<\boxed{\text{(56)}}s$であり

$4S^2\leqq s{t}^3+\boxed{\text{(57)}}\boxed{\text{(58)}}{s}^2{t}^2+\boxed{\text{(59)}}\boxed{\text{(60)}}{s}^{3}t+\boxed{\text{(61)}}\boxed{\text{(62)}}{s}^4$

が成立する．右辺を$f(t)$としたとき，$f(t)$は$s<t<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(63)}}}{\boxed{\text{(64)}}}}s$で単調増加であり，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(63)}}}{\boxed{\text{(64)}}}}s<t<2s$で単調減少である．よって$f(t)$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(65)}}\boxed{\text{(66)}}}{\boxed{\text{(67)}}\boxed{\text{(78)}}}}{s}^4$である．これにより，$S$の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(69)}}}}{\boxed{\text{(70)}}}}{s}^2$であることが分かる．

【５】　選択肢から最も適切なものを選びその番号を解答欄に記入しなさい．ただし，解答欄(85)〜(87)には計算した数を記入しなさい．また数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$に対して$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$と書く．

　次の式で定義される数$d_n$をカタラン数という．

$d_0=1\text{，}{d}_n={}_{2n}C_n-{}_{2n}C_{n-1}={\displaystyle \frac{{}_{2n}C_n}{\boxed{\text{(71)}}\boxed{\text{(72)}}}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

　このとき

$d_n=d_{n-1}{d}_0+d_{n-2}{d}_1+d_{n-3}{d}_2+\cdots +d_1{d}_{n-2}+d_0{d}_{n-1}$

が成り立ち

• $(n+3)(d_n{d}_1+d_{n-1}{d}_2+d_{n-2}{d}_3+\cdots +d_2{d}_{n-1}+d_1{d}_n)$
• $=(n+3)(d_{n+2}-\boxed{\text{(73)}}\boxed{\text{(74)}}{d}_{n+1})=\boxed{\text{(75)}}\boxed{\text{(76)}}{d}_{n+1}$

となる．

　$n\geqq 3$とし，正$n$角形$T$を対角線で$n-2$個の三角形に分ける方法が何通りあるかを考える．$T$の頂点を順に${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$とし，対角線で$n-2$個の三角形に分ける場合の数を$D_n$とする．ただし，$D_3=1$である．対角線${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_k\text{（}\boxed{\text{(77)}}\boxed{\text{(78)}}\leqq k\leqq \boxed{\text{(79)}}\boxed{\text{(80)}}\text{）}$を使って三角形に分ける場合の数は

$D_k{D}_{\boxed{\text{(81)}}\boxed{\text{(82)}}-k}$

であり，それらの和は

${\displaystyle \sum _{k=\boxed{\text{(77)}}\boxed{\text{(78)}}}^{\boxed{\text{(79)}}\boxed{\text{(80)}}}}{D}_k{D}_{\boxed{\text{(81)}}\boxed{\text{(82)}}-k}$

となる．$n$個の頂点で同様のことを考えれば，重複を考慮して

$n({\displaystyle \sum _{k=\boxed{\text{(77)}}\boxed{\text{(78)}}}^{\boxed{\text{(79)}}\boxed{\text{(80)}}}}{D}_n{D}_{\boxed{\text{(81)}}\boxed{\text{(82)}}-k})=2(\boxed{\text{(83)}}\boxed{\text{(84)}})D_n\text{（}n\geqq 4\text{）}$

となる．実際

$D_3=1\text{，}{D}_4=2\text{，}{D}_5=\boxed{\text{(85)}}\text{，}{D}_6=\boxed{\text{(86)}}\boxed{\text{(87)}}$

である．ところで$D_n$と$d_n$が満たす関係式を比較することにより

$D_{\boxed{\text{(88)}}\boxed{\text{(89)}}}=d_n$

であることがわかる．

[選択肢]

• (01)　$-3$
• (02)　$-2$
• (03)　$-1$
• (04)　$1$
• (05)　$2$
• (06)　$3$
• (07)　$n-3$
• (08)　$n-2$
• (09)　$n-1$
• (10)　$n$
• (11)　$n+1$
• (12)　$n+2$
• (13)　$n+3$
• (14)　$-2n$
• (15)　$2n$