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2007-13363-0201
2007 上智大学 文(哲),総合人間(教育,社福),外国語(英語以外)学部
2月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 有理数 a ,b が等式
(log3 ⁡3)⁢ (log2 ⁡8)+ log4⁡ 6=a+ b⁢log2 ⁡3
をみたすとき, a= ア イ ,b= ウ エ である.
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(2) x ,y を実数とし, i を虚数単位とする.複素数 x+ y⁢i が等式
(3-2 ⁢i)⁢ (x+y ⁢i)= 11-16⁢ i
をみたすとき, x= オ , y= カ である.
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(3) 0°<θ <90° で cos⁡ θ= 15 のとき
tan⁡ θ2 =1 キ ⁢( ク + ケ )
である.
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(4) P⁡(x ),Q ⁡(x) を x の整式とする. P⁡(x ) は P⁡ (2) =3 ,P ⁡(-3 )=-22 をみたし, P⁡(x )⁢Q⁡ (x) を x 2+x- 6 で割った余りは -109 ⁢x+245 である.このとき P⁡ (x) を x 2+x- 6 で割った余りは コ ⁢ x+ サ であり, Q⁡( x) を x 2+x- 6 で割った余りは シ ⁢ x+ ス である.
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【2】 いくつかのさいころを同時に投げるとき,出る目の最大値を M , 最小値を m とする.
(1) 2 つのさいころを同時に投げるとき, M=6 となる確率は セ ソ , M =5 となる確率は タ チ , M=4 となる確率は ツ テ である.また 5≦ m≦6 となる確率は ト ナ である.
(2) 3 つのさいころを同時に投げるとき, M=6 かつ m= 4 となる確率は ニ ヌ , M=5 かつ m= 2 となる確率は ネ ノ である.
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【3】 x の 2 次式 f⁡ (x)= 3 6⁢ (x -2)2 +3 6 に対して,座標平面上の放物線 C: y=f⁡ (x) と円 O: x2+ y2= 1 を考える.
(1) 点 ( 12 ,- 32 ) における円 O の接線を l とする. l の方程式は
ハ⁢ x+ ヒ ⁢ フ ⁢ y=2
l が x 軸となす角は ヘ ( 0° ≦ ヘ °≦90 °) である.
また l は点 ( ホ , マ ミ ) において C に接する.
(2) 点 (p, f⁡(p )) における C の接線を lp とする. lp の方程式は
2⁢(p + ム )⁢ x+ メ ⁢ モ ⁢ y=p 2+ ヤ⁢ p+ ユ
である. lp が円 O と接するとき, lp と原点との距離は 1 なので p は(1)の ホ であるか,
ヨ , ラ ± リ
のいずれかであることがわかる.
(3) q= ホ ,r= ヨ とする. C の 2 つの接線 l q, lr と C とで囲まれる図形の面積は ル レ である.