2007　上智大学　総合人間，法学部2月7日実施MathJax

【１】

(1)　$2$次方程式$x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．

(ⅰ)　${\alpha }^3=\boxed{\text{ア}}\alpha +12$であり，${\alpha }^3+2\beta \text{，}{\beta }^3+2\alpha$を$2$つの解とする$2$次方程式は$x^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}=0$である．

(ⅱ)　$k$を$1$でない定数とする．${\displaystyle \frac{\alpha +k}{\alpha +1}}\text{，}{\displaystyle \frac{\beta +k}{\beta +1}}\text{（}k\ne 1\text{）}$を$2$つの解とする$2$次方程式は

$2x^2+(\boxed{\text{エ}}k+\boxed{\text{オ}})x+(\boxed{\text{カ}}{k}^2+\boxed{\text{キ}}k+\boxed{\text{ク}})=0$

である．

【１】

(2)　$v$を正の有理数とし，

$A=v\text{，}B={\displaystyle \frac{2}{v}}\text{，}C={\displaystyle \frac{1}{2}}(v+{\displaystyle \frac{2}{v}})\text{，}D={\displaystyle \frac{4}{v+{\displaystyle \frac{2}{v}}}}\text{，}E=\sqrt{2}$

とする．$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D\text{，}E$の大小関係は$0<v<\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$ならば

$\boxed{\text{あ}}<\boxed{\text{い}}<\boxed{\text{う}}<\boxed{\text{え}}<\boxed{\text{お}}$であり，

$\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}<v$ならば

$\boxed{\text{か}}<\boxed{\text{き}}<\boxed{\text{く}}<\boxed{\text{け}}<\boxed{\text{こ}}$である．

　ただし，$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{お}}\text{，}\boxed{\text{か}}\text{〜}\boxed{\text{こ}}$には，$A\text{〜}E$の中からそれぞれ正しいものを選べ．

【２】　$a$を実数とし，座標平面において次の式で与えられる放物線$C_1\text{，}{C}_2$を考える．

• $C_1:y=4x^2-{(a-1)}^{2}x+2a^2-10a+15$
• $C_2:y=3x^2-(a^2-9)x-2a+5$

(1)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための必要十分条件は

$\boxed{\text{コ}}<a<\boxed{\text{サ}}$

である．このとき，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を通る直線の方程式は

$y=(\boxed{\text{シ}}{a}^2+\boxed{\text{ス}}a+\boxed{\text{セ}})x+\boxed{\text{ソ}}{a}^2+\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}}$

である．

(2)　$a=1$とする．このとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本あり，

• $l_1:y=\boxed{\text{ツ}}x+\boxed{\text{テ}}$
• $l_2:y=7(\boxed{\text{ト}}x+\boxed{\text{ナ}})$

で与えられる．ここで$\boxed{\text{テ}}>\boxed{\text{ナ}}$である．また，$C_1$の下側にあり，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{l}_1$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{ニ}}+\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．

【３】　$▵\mathrm{OXY}$において$\mathrm{OX}=\mathrm{OY}=5\text{，}\angle \mathrm{XOY}=30°$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{XY}$の中点とし，$\mathrm{Z}$を$\mathrm{OZ}=2$となる線分$\mathrm{OM}$上の点とする．また，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はそれぞれ線分$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}\text{，}\mathrm{OM}$上を動くものとする．

(1)　点$\mathrm{Z}$と直線$\mathrm{OX}$の距離は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{OR}=1$のとき，$\mathrm{RQ}+\mathrm{QZ}$の最小値を$L$とすると，$L^2=\boxed{\text{フ}}+\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．

(3)　$\mathrm{RQ}+\mathrm{QZ}$は$\mathrm{OQ}=\boxed{\text{マ}}\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ム}}}\text{，}\mathrm{OR}=\sqrt{\boxed{\text{メ}}}$のとき，最小値$\boxed{\text{モ}}$をとる．

(4)　$\mathrm{RP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QZ}$は$\mathrm{OP}=\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}\text{，}\mathrm{OQ}=\sqrt{\boxed{\text{ヨ}}}\text{，}\mathrm{OR}=\boxed{\text{ラ}}$のとき，最小値$\sqrt{\boxed{\text{リ}}}$をとる．