Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2007年度一覧へ
大学別一覧へ
上智大一覧へ
2007-13363-0401
2007 上智大学 経済(経営)学部
2月8日実施
易□ 並□ 難□
【1】 1 辺の長さが 2 の正六角形の頂点を, P1 ,P2 , ⋯, P6 とする.一方, 1 から 6 までの数字が書かれたカードを 1 枚ずつ,合わせて 6 枚用意し,そこから 3 枚を無作為に選ぶ.選んだ 3 枚のカードに書いてある数字を i ,j , k とするとき, ▵Pi Pj Pk をつくる.
(1) ▵Pi Pj Pk の面積 S は,
S1= ア⁢ イ , S2= ウ⁢ エ , S3= オ⁢ カ
の 3 つの値をとりうる.ただし, S1< S2< S3 とする.
(2) S=S1 となる確率は, キ ク であり, S=S 2 となる確率は, ケ コ である.これより,面積 S の期待値は サ シ⁢ ス となる.
2007-13363-0402
【2】(1) x5- (x- 1)5= セ ⁢ x4+ ソ⁢ x3 + タ⁢ x2 + チ ⁢x + ツ
である.
(2) 4 次式 f⁡ (x)= 5⁢x 4+2⁢ x3- 11⁢x2 +4⁢ x に対して,和
Sn= ∑k= 1n ⁡f⁡( k)( n= 1, 2, 3, ⋯)
を考える.定数 A ,B ,C ,D ,E を
f⁡( x) =A⁢{ x5- (x-1 )5} +B⁢{ x4- (x- 1)4 }+C⁢{ x3- (x- 1)3 }
+D ⁢{x2 -( x-1) 2}+E
を満たすように定めると,
A= テ ,B = ト ,C = ナ ,D = ニ ,E = ヌ
となる.これを用いて Sn を計算することができる.たとえば, S10 を
S10= 2a× 3b× 5c× 11d× 13e
( a, b, c, d, e は 0 以上の整数)
と素因数分解して表示すると
a= ネ ,b = ノ ,c = ハ ,d = ヒ ,e = フ
となる.
2007-13363-0403
【3】 図のように, 1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD の中に,点 C を中心とする半径 1 の四分円 O0 がある.
(1) 四分円 O0 と辺 AB ,AD とに接する円 O1 の半径 r1 とすると,
r1= ヘ+ ホ⁢ マ
(2) 円 O1 と辺 AB ,AD とに接する円の半径は,
ミ+ ム⁢ メ
(3) 円 O1 と四分円 O0 , 辺 AB に接する円 O2 の半径を r2 とする.円 O1 と辺 AB との接点を E , 円 O2 と辺 AB との接点を F とするとき,
EF2= モ⁢ r1 ⁢r2 ,FB2 = ヤ ⁢r 2, EB2= ユ⁢ r1
(4) 一般に四分円 O0 と辺 AB に接する円 On の半径を rn とし,四分円 O 0 , 円 On と辺 AB に接する円 O n+1 の半径を r n+1 とする.このとき,次の関係式が成立する.
rn ⁢r n+1 = ヨ⁢ rn + ラ ⁢r n+1
この辺の両辺を r n⁢ rn+ 1 で割れば, 1 rn に関する漸化式が得られる. rn は
rn = リ ⁢r1 1 +(n + ル ) ⁢r 1