2007　上智大学　経済(経営)学部2月8日実施MathJax

【１】　$1$辺の長さが$2$の正六角形の頂点を，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_6$とする．一方，$1$から$6$までの数字が書かれたカードを$1$枚ずつ，合わせて$6$枚用意し，そこから$3$枚を無作為に選ぶ．選んだ$3$枚のカードに書いてある数字を$i\text{，}j\text{，}k$とするとき，$▵{\mathrm{P}}_i{\mathrm{P}}_j{\mathrm{P}}_k$をつくる．

(1)　$▵{\mathrm{P}}_i{\mathrm{P}}_j{\mathrm{P}}_k$の面積$S$は，

$S_1=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}{S}_2=\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}\text{，}{S}_3=\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

の$3$つの値をとりうる．ただし，$S_1<S_2<S_3$とする．

(2)　$S=S_1$となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり，$S=S_2$となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．これより，面積$S$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$となる．

【２】(1)　$x^5-{(x-1)}^5=\boxed{\text{セ}}{x}^4+\boxed{\text{ソ}}{x}^3+\boxed{\text{タ}}{x}^2+\boxed{\text{チ}}x+\boxed{\text{ツ}}$

である．

(2)　$4$次式$f(x)=5x^4+2x^3-11x^2+4x$に対して，和

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．定数$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D\text{，}E$を

$f(x)=A\{x^5-{(x-1)}^5\}+B\{x^4-{(x-1)}^4\}+C\{x^3-{(x-1)}^3\}$

$+D\{x^2-{(x-1)}^2\}+E$

を満たすように定めると，

$A=\boxed{\text{テ}}\text{，}B=\boxed{\text{ト}}\text{，}C=\boxed{\text{ナ}}\text{，}D=\boxed{\text{ニ}}\text{，}E=\boxed{\text{ヌ}}$

となる．これを用いて$S_n$を計算することができる．たとえば，$S_{10}$を

$S_{10}=2^a\times 3^b\times 5^c\times {11}^d\times {13}^e$

$\text{（}a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$は$0$以上の整数）

と素因数分解して表示すると

$a=\boxed{\text{ネ}}\text{，}b=\boxed{\text{ノ}}\text{，}c=\boxed{\text{ハ}}\text{，}d=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}e=\boxed{\text{フ}}$

となる．

【３】　図のように，$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の中に，点$\mathrm{C}$を中心とする半径$1$の四分円$O_0$がある．

(1)　四分円$O_0$と辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}$とに接する円$O_1$の半径$r_1$とすると，

$r_1=\boxed{\text{ヘ}}+\boxed{\text{ホ}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$

である．

(2)　円$O_1$と辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}$とに接する円の半径は，

$\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}$

である．

(3)　円$O_1$と四分円$O_0\text{，}$辺$\mathrm{AB}$に接する円$O_2$の半径を$r_2$とする．円$O_1$と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}\text{，}$円$O_2$と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{F}$とするとき，

${\mathrm{EF}}^2=\boxed{\text{モ}}{r}_1{r}_2\text{，}{\mathrm{FB}}^2=\boxed{\text{ヤ}}{r}_2\text{，}{\mathrm{EB}}^2=\boxed{\text{ユ}}{r}_1$

となる．

(4)　一般に四分円$O_0$と辺$\mathrm{AB}$に接する円$O_n$の半径を$r_n$とし，四分円$O_0\text{，}$円$O_n$と辺$\mathrm{AB}$に接する円$O_{n+1}$の半径を$r_{n+1}$とする．このとき，次の関係式が成立する．

$\sqrt{r_n}\sqrt{r_{n+1}}=\boxed{\text{ヨ}}\sqrt{r_n}+\boxed{\text{ラ}}\sqrt{r_{n+1}}$

この辺の両辺を$\sqrt{r_n}\sqrt{r_{n+1}}$で割れば，${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}}$に関する漸化式が得られる．$\sqrt{r_n}$は

$\sqrt{r_n}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}\sqrt{r_1}}{1+(n+\boxed{\text{ル}})\sqrt{r_1}}}$

である．