2007　上智大学　法(法律)学部2月9日実施MathJax

【１】　放物線$\alpha :y=x^2$上に，$3$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(-a,a^2)\text{，}\mathrm{C}(c,c^2)$をとる．ただし，$a>|c|$とする．$\angle \mathrm{ABC}=60°\text{，}\angle \mathrm{ABC}=45°$である．このとき，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}-\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

　$▵\mathrm{ABC}$の外接円を$\beta$とすると，円$\beta$の中心は

$(\boxed{\text{キ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}})$

であり，半径は$\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$である．

　放物線$\alpha$と円$\beta$との$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$以外の交点を$\mathrm{D}$とすると，点$\mathrm{D}$の$x$座標は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

　放物線$\alpha$上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$における接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．$l_1$と$l_2$との交点は

$\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}},\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\right)$

である．

【２】　以下の図のようにいくつかの正方形を並べて作られた図形に，辺を共有する正方形同士が相異なる色となるように，赤・青・黄のうち$2$色以上を使って塗り分ける方法を考える．ただし，回転や上下左右の入れ替えで移り合うものでも全て区別して数えるものとする．

(1)　図のように，横$1$列に並んだ$3$つの正方形の場合，塗り分ける方法は$\boxed{\text{ツ}}$通りである．

(2)　図のように，縦$3$列・横$2$列に並んだ$6$つの正方形の場合，塗り分ける方法は$\boxed{\text{テ}}$通りである．

(3)　図のように縦$3$列・横$3$列に並んだ$9$つの正方形を塗り分けよう．

(ⅰ)　赤・青・黄のうち$2$色だけを使う方法は$\boxed{\text{ト}}$通りである．

(ⅱ)　$\mathrm{E}$が赤で塗られているとする．このとき，

• $\mathrm{B}\cdot \mathrm{D}\cdot \mathrm{F}\cdot \mathrm{H}$が全て青である方法は$\boxed{\text{ナ}}$通り，
• $\mathrm{B}\cdot \mathrm{D}\cdot \mathrm{F}\cdot \mathrm{H}$のうち$2$つが青である方法は$\boxed{\text{ニ}}$通り，
• $\mathrm{B}\cdot \mathrm{D}\cdot \mathrm{F}\cdot \mathrm{H}$のうち$2$つが青である方法は$\boxed{\text{ヌ}}$通り

である．これより，$\mathrm{E}$を赤で塗る方法は全部で$\boxed{\text{ネ}}$通りである．

【３】　平面上に$1$辺の長さが$2$の正方形$S$がある．

　以下では，「$S$に属する点」とは，正方形$S$の内部および周上の点のことをいう．

　$a$を正の実数とし，この平面上の点に対する次の条件を考える．

• ・[条件$\mathrm{A}$]$S$に属するある点との距離が$1$以下
• ・[条件$\mathrm{B}$]$S$に属するどの点との距離も$a$以下

(1)　[条件$\mathrm{A}$]を満たす点全体のなす領域の面積は$\boxed{\text{ノ}}+\boxed{\text{ハ}}\pi$である．

(2)　[条件$\mathrm{B}$]を満たす点が存在するような$a$の範囲は，$a\geqq \boxed{\text{あ}}$である．

(3)　[条件$\mathrm{B}$]を満たすどの点も$S$に属するような$a$の範囲は，$a\leqq \boxed{\text{い}}$である．

(4)　$S$に属するどの点も[条件$\mathrm{B}$]を満たすような$a$の範囲は，$a\geqq \boxed{\text{う}}$である．

(5)　[条件$\mathrm{A}$]を満たすどの点も[条件$\mathrm{B}$]を満たすような$a$の範囲は，$a\geqq \boxed{\text{え}}$である．

$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{え}}$の選択肢

• (a)　$1$
• (b)　$\sqrt{2}$
• (c)　$2$
• (d)　$\sqrt{5}$
• (e)　$2\sqrt{2}$
• (f)　$3$
• (g)　$\sqrt{10}$
• (h)　$4$
• (i)　$\sqrt{2}-1$
• (j)　$1+\sqrt{2}$
• (k)　$1+2\sqrt{2}$
• (l)　$2+2\sqrt{2}$