2007 上智大学 理工(機械・化学)学部2月10日実施MathJax

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2007 上智大学 理工学部

機械工学科・化学科

2月10日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の条件 P Q について選択肢から答えよ.

(1)  f(x ) は連続な 2 次導関数をもつとする.

に対し P Q

 同じ P

Q:f (a )=f (a )=0

に対し P Q

(2) 

に対し P Q

(3)  A B O 2 次正方行列で O は零行列とする.

に対し P Q

 同じ P

Q:A B=O かつ B O となる B が存在する

に対し P Q

(4) 

とする.このとき P Q

から の選択肢

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機械工学科・化学科

2月10日実施

易□ 並□ 難□

【2】 ある放射性元素の時刻 t= 0 における量を x0 とすると t 日後にはその量 x (t)

x(t )=x0 e -tt 0

で与えられる.ここで t0 はある定まった時間を表す正の定数である.ただし,時刻と時間を表す実数の単位はすべて日とする.以下の計算では近似値 log 102 =0.301 log 10e =0.434 を用いる.

(1) この元素は,ちょうど 77 日後にもとの量の 12 になる.このとき t0 に最も近い整数は である.

(2) この元素は 365 日後にもとの量の 10 -a 倍になる.指数 a の小数第 3 位を 4 5 入して小数第 2 位まで求めると a の整数部分は 小数第 1 位は 小数第 2 位は である.

(3) この元素がもとの量の 10 -24 倍になるのを b 日後とすると, b の整数部分は 桁であり, b の整数部分の最高位の数字は である.

(4) 時刻 s から d 日後の元素の量 x (s+d ) x (s+ d)= x (s) 2 をみたすとする.このような d s に対しただ 1 つ定まる. d s の関数と考え d= f(s ) とおけば, f( s)

の選択肢

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【3】  xyz 空間において,平面 z= 0 上の円 S0 と平面 z= 0 上の円 S1 を次のように定義する.

S0 上の点 P0 (cos α,sin α,0 ) S1 上の点 P 1( cosβ ,sinβ ,1) とを考える. O( 0,0, 0) A( 0,0, 1) を定点とする.

(1)  β-α= π4 のとき,平面 z= t (ただし 0< t<1 )と四面体 O P0 P1 A とが交わってできる四辺形の面積は

( t2 +t)

である.

(2)  β-α = π2 のとき, z 軸上の点 ( 0,0, 1 2 ) と,平面 z= 1 2 と線分 P 0P1 の交点との距離は である.

(3) 一般に β- α=θ (ただし 0< θ<π )のとき, z 軸上の点 (0 ,0,t ) (ただし 0 t1 )と,平面 z= t と線分 P 0P1 の交点との距離を l (t) とすると

{l (t )} 2= t2+ t+ + ( t2+ t )cos θ

である.

(4)  β-α= 2 π3 を保ちながら, P0 S0 上を, P1 S1 上を一周したときに,線分 P 0P1 が動いてできる曲面と,平面 z= 0 および z= 1 によって囲まれる部分の体積は π である.

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【4】  xy 平面の双曲線

x 225- y2 4=- 1

C とする.点

P( Atan θ, B cosθ ) - π2< θ< π2

はつねに C 上を動くとする.ただし, A B は定数である.さらに,

limθ -π 2+0 A tanθ= かつ lim θ -π2 +0 Bcos θ=

とする.

(1) このとき A= B= である.

(2)  P から直線 y= 1 5x に下ろした垂線の足を Q とする. Q y 座標は

tanθ+ 1 cosθ

である.線分 PQ の長さを d (θ) とする.

(3) 上に定義した関数 d (θ) (- π 2<θ <π2 ) θ =α のとき最小値をとる.このとき

sinα= d(α )=

である.

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