2007　東京理科大学　経営学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$xy$平面において，放物線$C:y=x^2-6x+13$の接線で点$(4,1)$を通るものは二つある．そのうち傾きの大きいほうを$l_1\text{，}$もう一方を$l_2$とすると，$l_1$を表す方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$

で，$l_2$を表す方程式は

$y=-\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$

である．$C$と$l_1$および$l_2$によって囲まれる図形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　二つの袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$には赤玉$6$個と白玉$4$個，$\mathrm{B}$には赤玉$8$個と白玉$2$個が入っていて，それぞれの袋から玉を$5$個ずつ取り出す．このとき，袋$\mathrm{A}$から取り出された玉のうち，白玉が$2$個である確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$

である．袋$\mathrm{B}$から取り出された玉のうち，白玉が$2$個である確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．また，それぞれの袋から取り出された赤玉の個数が等しくなる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}}}$

である．

【２】　$3$次方程式$x^3-a{x}^2+3x+b=0$は相異なる$3$つの実数解をもち，それら解のうち一つは$-1$である．ただし，$a\text{，}b$は定数である．

(1)　$a\text{，}b$が満たす関係式を求めなさい．

(2)　$a$のとりうる範囲を求めなさい．

(3)　この$3$つの実数解を適当な順に並べたとき，等差数列になるように$a$の値を求めなさい．また，そのときの$3$つの実数解を求めなさい．

【３】　二つの角$\alpha \text{，}\beta \text{（}0\mathrm{°}<\alpha <90\mathrm{°}\text{，}0\mathrm{°}<\beta <90\mathrm{°}\text{）}$が$p\tan \alpha +\tan \beta =p+1$を満たしている．ただし，$p$は正の定数である．

(1)　次式を$p$で表しなさい．

${\displaystyle \frac{p^2}{{\cos }^2\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\beta }}+{\displaystyle \frac{2p\cos (\beta -\alpha )}{\cos \alpha \cos \beta }}$

(2)　次式を最小にする$\alpha \text{，}\beta$とその最小値を$p$で表しなさい．

${\displaystyle \frac{p}{\cos \alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \beta }}$

【１】　次の連立不等式を満たす$(x,y)$の集合を$D$とする．

$\{\begin{array}{c}x+y\geqq 8\\ x-2y\leqq 2\\ x+3y\leqq 22\end{array}$

(1)　座標平面において，$D$を表す領域を図示しなさい．

(2)　$m$は定数とする．$(x,y)$が領域$D$を動くとき，

$mx+y$

の最大値，最小値をそれぞれ$m$で表しなさい．

【２】　座標平面において，曲線$C:y=x^4-x^2$があり，その上に点$(\alpha ,{\alpha }^4-{\alpha }^2)$をとる．ただし，$\alpha <0$である．また，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と曲線$C$とが，領域$x>0$において，異なる$2$点で交わっている．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\alpha$の範囲を求めなさい．

(2)　関数$g(x)$は$2$次の多項式とする．ここで，$g(x)$の$1$次導関数，$2$次導関数をそれぞれ$g^{\prime }(x)\text{，}{g}^{″}(x)$とする．次の定積分を$s\text{，}t$と$g(t)\text{，}{g}^{\prime }(t)\text{，}{g}^{″}(t)$を用いて表しなさい．ただし，$s\text{，}t$は実数である．

${\displaystyle {\int }_s^t}{(x-s)}^{2}g(x)dx$

(3)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線と曲線$C$とによって囲まれた$2$つの部分の面積が等しいとき，$\alpha$の値を求めなさい．

【３】　箱の中に番号$0$を記したカードが$3$枚，$1$を記したものが$4$枚と，$2$を記したもの，$3$を記したもの，$4$を記したものがそれぞれ$1$枚，全部で$10$枚のカードが入っている．サイコロを投げ，出た目の数だけのカード，たとえば，出た目の数が$3$なら$3$枚のカード，を箱から同時に抜き取る．このとき，出た目の数を$X\text{，}$抜き取ったカードに記されている番号の合計を$Y$とする．

(1)　$X=4\text{，}Y=4$となる確率を求めなさい．

(2)　$XY=2(X+Y)$となる確率を求めなさい．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{2}{1+k}}\text{，}{\displaystyle \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n}}=k{\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_n}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

を満たしている．ただし，$k$は定数で$k>0\text{，}k\ne 1$である．

(1)　自然数$n$に対し，$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおく．数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めなさい．

(2)　$a_n$を$n$で表しなさい．