2007　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ミ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{{(x+7e^4)}^2}}\text{（}x>0\text{）}$

を考える．ここで，$\log x$は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

　この関数の最大値$M$は${\displaystyle \frac{1}{16e^8}}$である．このことを用いて，$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値$c$を求めたい．

　まず，$f(x)$の導関数を求めると

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x+7e^4-\boxed{\text{ア}}x\log x}{x{(x+7e^4)}^{\boxed{\text{イ}}}}}$

であり，しがたって$c$は，$c+7e^4=\boxed{\text{ア}}c\log c$を満たすので

$M={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}c(c+7e^4)}}$

となる．よって，$c$は関係式

$c^2+7e^{4}c-\boxed{\text{エ}}{e}^{\boxed{\text{オ}}}=0$

を満たす．$c>0$であることより

$c=e^{\boxed{\text{カ}}}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ミ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$2$次正方行列$P$を

$P=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$

と定め，定数$\alpha \text{，}\beta$に対して，

$A=P\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)P^{-1}$

とおく．このとき，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$A^n$は，

$A^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{キ}}{\alpha }^n-\boxed{\text{ク}}{\beta }^n& -\boxed{\text{ケ}\text{コ}}({\alpha }^n-{\beta }^n)\\ \boxed{\text{サ}}({\alpha }^n-{\beta }^n)& -\boxed{\text{シ}}{\alpha }^n+\boxed{\text{ス}}{\beta }^n\end{array}\right)$

と表される．以下，$\alpha =9\text{，}\beta =8$とすると，

$A=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{セ}\text{ソ}}& -\boxed{\text{タ}\text{チ}}\\ \boxed{\text{ツ}}& 0\end{array}\right)$

となる．数列$\{a_n\}$が，$a_1=a_2=1$と，関係式

$a_{n+2}={\displaystyle \frac{17}{6}}{a}_{n+1}-2a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすなら，

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+2}\\ a_{n+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{テ}}}}A\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となるので，

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+2}\\ a_{n+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{{\boxed{\text{テ}}}^n}}{A}^n\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ a_1\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．よって

$a_{n+2}={\displaystyle \frac{1}{{\boxed{\text{ト}}}^n}}(-\boxed{\text{ナ}}{9}^n+\boxed{\text{ニ}}{8}^n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ミ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$i$を虚数単位として，$\omega$を

$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}i}{\boxed{\text{ネ}}}}$

と定めると，${\omega }^3=1$を満たす．コインを$10$回投げて，その結果により数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{10}$を次のように定める．

$1$回目に投げた結果が表なら$a_1=\omega \text{，}$裏なら$a_1={\omega }^2$と定める．

$2$回目に投げた結果が表なら$a_2=\omega a_1\text{，}$裏なら$a_2={\omega }^2{a}_1$と定める．

同様に，$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{，}10$に対して，

$n$回目に投げた結果が表なら$a_n=\omega a_{n-1}\text{，}$裏なら$a_n={\omega }^2{a}_{n-1}$と定める．

(ⅰ)　$a_4$が実数となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(ⅱ)　$a_{10}$が実数となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}\text{フ}\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}\text{ミ}}}}$である．

【２】　関数

$f(x)=|\log (x+1)|\text{（}x>-1\text{）}$

を考える．$a$を正の定数とし，$xy$平面において$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{P}(a,f(a))$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線$l$が，このグラフと交わるもう一方の点を$\mathrm{Q}(b,f(b))$とする．$\text{（}b<0\text{）}$

(1)　$b$を，$a$を用いて表せ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの，点$\mathrm{P}$における接線と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{T}$とする．$▵\mathrm{TPQ}$の外接円の面積$S$を，$a$を用いて表せ．

(3)　直線$l$と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を，$a$を用いて表せ．

(4)　(2)で求めた$S$と(3)で求めた$V$について

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V}{S}}$

の値を求めよ．

【３】　$d$を正の定数とし，$f(x)={\displaystyle \frac{1}{d}}{x}^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$との交点のうち，原点でないものを$\mathrm{P}(a,f(a))$とおく．

　次の$3$つの条件を満たす円$C$を考える．

・$C$は$y$軸に接する．

・$C$は$y=f(x)$のグラフと点$\mathrm{P}$で接する．つまり，$C$とこのグラフは点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつ．

・$C$の中心は，連立不等式$y>{\displaystyle \frac{1}{d}}{x}^2\text{，}x>0$の表す領域にある．

この円$C$の中心を$\mathrm{A}(r,f(a)+h))$とし，円$C$と$y$軸の接点を$\mathrm{Q}(0,f(a)+h)$とする．

(1)　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{d}}{x}^2$の点$\mathrm{P}$における法線の傾きを求めよ．

(2)　$r$と$h$を，$d$を用いて表せ．

(3)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線$l$の方程式を，$d$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた直線$l$と$y=f(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．