2007　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ニ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$a$を定数として$x$についての方程式

$9^x+9^{-x}-(a+1)(3^x+3^{-x})-2a^2+8a-4=0$

を考える．$t=3^x+3^{-x}$とおくと，$x$がすべての実数を動くとき，$t$のとる値の範囲は$t\geqq \boxed{\text{ア}}$であり，上の方程式は

$t^2-(a+1)t-2(a^2-4a+\boxed{\text{イ}})=0$

となる．この$t$についての$2$次方程式が，$t\geqq \boxed{\text{ア}}$の範囲に少なくとも$1$つ解をもつための必要十分条件は

$a\leqq \boxed{\text{ウ}}$または$a\geqq \boxed{\text{エ}}$

である．特に$a=-5$のとき，最初に考えた方程式の解は

$x={\log }_3(\boxed{\text{オ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{カ}\text{キ}}})$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ニ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　定数$a\text{，}b\text{（}a>0\text{）}$に対し，$xy$平面において放物線

$C_1:y=a{x}^2+2ax+2a-b$

を考える．$x$軸に関して$C_1$と対称な放物線を，$x$軸方向へ$4\text{，}y$軸方向へ$8$だけ平行移動したものを$C_2$とすると，その頂点の$x$座標は$\boxed{\text{ク}}$である．また$C_2$の頂点の$y$座標が$9$ならば，$b=a+\boxed{\text{ケ}}$が成り立つ．さらにこのとき$C_1$と$C_2$がただ$1$つの共有点をもつのは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$の場合のみであり，その共有点の座標は$(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})$となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ニ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{7x^3+23x^2+21x+15}{(x^2+1){(x+1)}^2}}$

を考える．

$f(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソ}}}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}}{{(x+1)}^2}}$

である．したがって，

${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}+\boxed{\text{ト}}\log 2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\pi$

となる．

【２】　座標平面において，$C_1$を原点を中心とする半径$2$の円とし，$C_2$を点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円とする．$C_1$と$C_2$の両方と接する円を考える．

(1)　円$D_1$は$C_1$と内接し，さらに$C_2$と外接しているとする．$D_1$の中心の座標を$(r_1\cos \theta ,r_1\sin \theta )$と表すとき，$r_1$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　円$D_2$は$C_1$と内接し，さらに$C_2$とも内接しているとする．$D_2$の中心の座標を$(r_2\cos \theta ,r_2\sin \theta )$と表すとき，$r_2$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$f(\theta )=r_1-r_2$とおく．ここで$r_1\text{，}{r}_2$はそれぞれ(1)，(2)で求めた$\theta$の関数である．$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$2$つの正の定数$a$と$p$に対し，関数

$f(x)=a^{p}x{e}^{-a{x}^2}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．

$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフ上の点で，$y$座標が最大となる点を$\mathrm{M}$とおく．

(1)　点$\mathrm{M}$の座標を$a$と$p$を用いて表せ．

(2)　$p$を固定したまま，$a$を正の範囲で動かすとき，点$\mathrm{M}$はある関数$y=g(x)$のグラフ上を動く．この関数$g(x)$を求め，そのグラフを$p$の値で場合分けして図示せよ．

(3)　$x>0$の範囲で，(2)の$y=g(x)$のグラフ上の点から原点までの距離の最小値が存在するような$p$の値の範囲を求め，このとき，その最小値を与える$x$の値を$p$を用いて表せ．