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2007-13442-0401
2007 東京理科大学 理工学部B方式
数,建築,電気電子情報学科
2月6日実施
(2)〜(4)と合わせて配点40点,
数学科は60点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から レ までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) 原点を O とする xy 平面上の点 P n ( n=1 ,2 ,3 ,⋯) は,その座標 ( xn, yn ) が条件
x1= 1 ,y1 =0 ,{ xn +1= 14 ⁢ xn- 3 4⁢ y n yn+ 1= 3 4⁢ xn + 14⁢ yn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たしているものとする.このとき,
| O Pn +1 →| = ア イ ⁢ | O Pn → |
O P n+1 → ⋅O Pn → = ウ エ ⁢ | O Pn → |2
である. ▵P nO P n+1 の面積を S n とおくと,
Sn= オ カ ⁢ ( 1 キ ) n-1
であり,
∑ n=1 ∞ ⁡Sn = ク ケ
である.
2007-13442-0402
(1),(3),(4)と合わせて配点40点
(2) 0≦θ≦ 2⁢π とする. xy 平面において,原点 O を中心とする半径 2⁢3 3 の円 C 1 上の点 P ( 2 ⁢3 3⁢ cos ⁡θ, 2 ⁢3 3⁢ sin⁡ θ) から, O を中心とする半径 1 の円 C 2 への接線の接点を Q , Q ′ とする.これらの点の座標は, 0<α < π2 の範囲にある α を用いて
Q( cos⁡( θ+α ),sin ⁡(θ +α) ) ,Q ′( cos⁡( θ-α) ,sin⁡( θ-α ))
と表される.このとき, α= コ サ ⁢ π である.点 Q ′ を x 軸に関して点 Q ′ と対称な位置にある点とする.点 A (2 ⁢2 ,0) を中心とする半径 1 の円 C 3 上に点 R を
OR→ =OA→ +O Q ′ →
となるようにとる.
θ が 0≦ θ<2⁢ π の範囲を動くとき,線分 QR の長さの 2 乗は, θ= シ ス ⁢ π , セ ソ ⁢ π (順不同)のとき最小値 タ をとり, θ= チ ツ ⁢ π のとき最大値 テ ト + ナ ⁢ ニ をとる.
2007-13442-0403
(1),(2),(4)と合わせて配点40点
(3)(ⅰ) 3 で割り切れる 2 桁の自然数の総和は ヌ ネ ノ ハ である.
また, 2 または 3 で割り切れる 2 桁の自然数は全部で ヒ フ 個あり,その総和は ヘ ホ マ ミ である.
(ⅱ) 256=2 8 の正の約数は全部で ム 個あり,その総和は メ モ ヤ である.
また, 2304=2 8⋅ 32 の正の約数は全部で ユ ヨ 個あり,その総和は ラ リ ル レ である.
2007-13442-0404
30点,数学科は45点
【2】 xy 平面において, 2 つの放物線
C1: y=2⁢ x2
C2: y=( x-t) 2+ e-4⁢ t2
を考える.ここで, t は定数であり, e は自然対数の底である.
(1) すべての t に対して, 2 つの放物線 C 1 ,C2 は 2 点で交わることを示せ.
2 つの放物線 C 1 ,C2 の交点の x 座標を小さい順に α , β とする.
(2) β-α を, t を用いて表せ.
(3) 2 つの放物線 C 1 ,C2 で囲まれる図形の面積 S を, t を用いて表せ.
(4) t が実数全体を動くとき,上で求めた S の最小値と,それを与える t の値を求めよ.
2007-13442-0405
【3】 実数 a , b に対して, xy 平面における 3 点
A( a-1, b) ,B (a ,b+3 ), C( a+1,b )
を頂点とする ▵ABC の周および内部を D とおく. D を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V1 ,x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V 2 とおく.
(1) V1 について,以下の問に答えよ.
(ⅰ) a≧1 のとき, V1 を求めよ.
(ⅱ) 0<a< 1 のとき, V1 を求めよ.
(2) V2 について,以下の問に答えよ.
(ⅰ) D が x 軸と共有点をもつ b の値の範囲を求めよ.
(ⅱ) b が上で求めた範囲を動くとき, V2 の最大値と最小値を求めよ.
(3) a=5 のとき, V1= V2 となる b の値を求めよ.