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2007 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(2)〜(4)と合わせて配点40点,

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(1) 原点を O とする xy 平面上の点 P n n=1 2 3 は,その座標 ( xn, yn ) が条件

x1= 1 y1 =0 { xn +1= 14 xn- 3 4 y n yn+ 1= 3 4 xn + 14 yn n=1 2 3

を満たしているものとする.このとき,

| O Pn +1 | = | O Pn |

O P n+1 O Pn = | O Pn |2

である. P nO P n+1 の面積を S n とおくと,

Sn= ( 1 ) n-1

であり,

n=1 Sn =

である.

2007 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(3),(4)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(2)  0θ 2π とする. xy 平面において,原点 O を中心とする半径 23 3 の円 C 1 上の点 P ( 2 3 3 cos θ, 2 3 3 sin θ) から, O を中心とする半径 1 の円 C 2 への接線の接点を Q Q とする.これらの点の座標は, 0<α < π2 の範囲にある α を用いて

Q( cos( θ+α ),sin (θ +α) ) Q ( cos( θ-α) ,sin( θ-α ))

と表される.このとき, α= π である.点 Q x 軸に関して点 Q と対称な位置にある点とする.点 A (2 2 ,0) を中心とする半径 1 の円 C 3 上に点 R

OR =OA +O Q

となるようにとる.

θ 0 θ<2 π の範囲を動くとき,線分 QR の長さの 2 乗は, θ= π π (順不同)のとき最小値 をとり, θ= π のとき最大値 + をとる.

2007 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(2),(4)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(3)(ⅰ)  3 で割り切れる 2 桁の自然数の総和は である.

また, 2 または 3 で割り切れる 2 桁の自然数は全部で 個あり,その総和は である.

(ⅱ)  256=2 8 の正の約数は全部で 個あり,その総和は である.

また, 2304=2 8 32 の正の約数は全部で 個あり,その総和は である.

2007 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面において, 2 つの放物線

C1: y=2 x2

C2: y=( x-t) 2+ e-4 t2

を考える.ここで, t は定数であり, e は自然対数の底である.

(1) すべての t に対して, 2 つの放物線 C 1 C2 2 点で交わることを示せ.

  2 つの放物線 C 1 C2 の交点の x 座標を小さい順に α β とする.

(2)  β-α を, t を用いて表せ.

(3)  2 つの放物線 C 1 C2 で囲まれる図形の面積 S を, t を用いて表せ.

(4)  t が実数全体を動くとき,上で求めた S の最小値と,それを与える t の値を求めよ.

2007 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

【3】 実数 a b に対して, xy 平面における 3

A( a-1, b) B (a ,b+3 ) C( a+1,b )

を頂点とする ABC の周および内部を D とおく. D y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V1 x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V 2 とおく.

(1)  V1 について,以下の問に答えよ.

(ⅰ)  a1 のとき, V1 を求めよ.

(ⅱ)  0<a< 1 のとき, V1 を求めよ.

(2)  V2 について,以下の問に答えよ.

(ⅰ)  D x 軸と共有点をもつ b の値の範囲を求めよ.

(ⅱ)  b が上で求めた範囲を動くとき, V2 の最大値と最小値を求めよ.

(3)  a=5 のとき, V1= V2 となる b の値を求めよ.

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