2007　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた同じ大きさの$7$個の球が入った袋がある．この袋の中から球を$1$つ取り出し，球に書かれた数字を調べて球を元に戻す試行を$1000$回繰り返す．$a_0=0$とし，$n$回目に袋の中から取り出した球の数字が，$1$または$7$のときは$a_n=a_{n-1}+2\text{，}$それ以外のときは$a_n=a_{n-1}+1$として数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{1000}$をつくる．この数列の中に$n$が含まれない確率を$p_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}1000\text{）}$とする．

(1)　$p_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{p}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

(2)　関係式

$p_{n+1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}{p}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}999\text{）}$

が成り立つ．

(3)　$p_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}})}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}1000\text{）}$となる．

(4)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{1000}$の中に，$n$が含まれる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}(1-{(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})}^{n+1})$であり，$n$と$n+1$がともに含まれる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}(1-{(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})}^{n+1})$である．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}999$とする．

【２】　$xy$平面において，点$\mathrm{A}$を$(1,0)$とし，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周の上半分（すなわち，$x^2+y^2=1\text{，}y>0$）を動くものとする．$\mathrm{A}$を端点とする半直線$\mathrm{AP}$上に，点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AQ}=1$となるようにとり，線分$\mathrm{OQ}$の中点を$\mathrm{R}$とおく．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とする．

(1)　$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$となるのは，$\theta =\boxed{\text{ア}\text{イ}}\mathrm{°}$のときである．

(2)　$0\mathrm{°}<\theta <\boxed{\text{ア}\text{イ}}\mathrm{°}$のとき，$\angle \mathrm{POQ}=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}\mathrm{°}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\theta$であり，$\boxed{\text{ア}\text{イ}}\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$のとき，$\angle \mathrm{POQ}=-\boxed{\text{キ}\text{ク}}\mathrm{°}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\theta$である．

(3)　$\theta$が$0\mathrm{°}<\theta <\boxed{\text{ア}\text{イ}}°$の範囲を動くとき，$\mathrm{OR}$（線分$\mathrm{OR}$の長さ）が取りうる値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}<\mathrm{OR}<{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$であり，$\theta$が$\boxed{\text{ア}\text{イ}}\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$\mathrm{OR}$が取りうる値の範囲は$\boxed{\text{ソ}}<\mathrm{OR}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

(4)　$\theta$が$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$が最小になるのは$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}}$のときで，このとき，$\mathrm{PR}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【３】　$f(x)=x^3-2x^2-4x$とするとき，$xy$平面における曲線$C_1:y=f(x)$と放物線$C_2:y=a{x}^2+bx+c$は，点$(1,f(1))$において共通の接線をもち，点$(3,f(3))$で交わるという．$C_1$と$C_2$によって囲まれた領域（境界線も含む）を$D$とする．

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=-\boxed{\text{イ}\text{ウ}}\text{，}c=\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$D$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．（ただし，$x^4$の導関数が$4x^3$であることを用いよ．）

$C_1$上の点$(-1,f(-1))$における$C_1$の接線が$C_2$と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}{x}_2$（ただし，$x_1<x_2$）とするとき，

$x_2-x_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}$

である．

(4)　点$\mathrm{R}$が領域$D$を動くとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積の最大値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}$

であり，最大値を与える$\mathrm{R}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

【４】　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$は平行でないベクトルで，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の大きさはそれぞれ$3\text{，}1$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積は正の数$k$であるものとする．平面上に$\mathrm{OD}$を対角線とする平行四辺形$\mathrm{OCDA}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CO}}=5\overrightarrow{b}$である．$\angle \mathrm{OCD}$の$2$等分線と直線$\mathrm{OA}$の交点を${\mathrm{P}}_1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_2}$となるように点${\mathrm{P}}_2$をとる．直線$\mathrm{CO}$に関して${\mathrm{P}}_1$と対称な点を${\mathrm{P}}_3$とおき，直線$\mathrm{C}{\mathrm{P}}_3$と直線$\mathrm{OA}$の交点を${\mathrm{P}}_4$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{a}-\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{b}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}k\overrightarrow{b}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_4}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}k+\boxed{\text{ス}}}}\overrightarrow{a}$である．また，${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4:{\mathrm{P}}_4\mathrm{C}$の比の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}k$である．

(4)　線分${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_4$が線分$\mathrm{CO}$と直交するのは$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$のときである．