2007　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　$x$の整式$P(x)=x^5+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+4x-4$が${(x-1)}^2(x+1)$で割り切れるとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．

(a)　$a\text{，}b\text{，}c$の値はそれぞれ，

$a=-\boxed{\text{ア}}\text{，}b=-\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$

である．

(b)　$P(x)$を${(x-1)}^2(x+1)$で割ったときの商を$Q(x)$とすると，

$Q(x)=\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}x-\boxed{\text{カ}}$

である．

(c)　(b)で求めた$Q(x)$を用いて$S(x)$を，

$S(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}Q(t)dt$

とすると，$S(x)$は$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき最小値$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$をとる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　関数$f(x)={\sin }^{2}x+\sin x\cos x+k{\cos }^{2}x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を考える．ただし，$k$は実数とする．

(a)　$k=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}}$のとき，$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=0$となる．

(b)　$f(x)$が条件

「 $f(x)$はつねに$0$以上の値をとる」

を満たすような最小の$k$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(c)　$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のとき，$f(x)$は最大値$2\text{，}$最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$をとる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　右図のような，底面が$1$辺の長さ$\sqrt{7}\text{（}\mathrm{AB}=\sqrt{7}\text{）}$の正三角形，高さが$3\text{（}\mathrm{AD}=3\text{）}$の正三角柱$\mathrm{ABC}‐\mathrm{DEF}$を考える．辺$\mathrm{BE}$上に$\mathrm{BG}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{BE}$となるような点$\mathrm{G}$をとり，辺$\mathrm{CF}$上に$\mathrm{CH}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{CF}$となるような点$\mathrm{H}$をとる．

(a)　正三角柱$\mathrm{ABC}‐\mathrm{DEF}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

(b)　$\mathrm{AG}=\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}\text{，}\mathrm{GH}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\mathrm{HA}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$であり，三角形$\mathrm{AGH}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

(c)　三角形$\mathrm{GAD}$において，$\cos \angle \mathrm{GAD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

(d)　線分$\mathrm{GH}$上に点$\mathrm{K}$をとり，三角形$\mathrm{KAD}$において，$\angle \mathrm{KAD}$の大きさを$\theta$とする．線分$\mathrm{GH}$に沿って点$\mathrm{K}$を動かすとき，$\cos \theta$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)={(1+x)}^{\frac{1}{1+x}}\text{（}x>0\text{）}$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めなさい．また，$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　連立不等式$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 2\\ x\geqq y^2\end{array}$の表す領域の面積を求めなさい．

【３】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$上に$x_1>0\text{，}{y}_1>0$となるような点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$をとる．点$\mathrm{P}$における楕円の接線を$l_1\text{，}$法線を$l_2$とする．

(1)　接線$l_1$と法線$l_2$の方程式をそれぞれ求めなさい．

　接線$l_1$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，法線$l_2$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{S}\text{，}y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．

(2)　線分$\mathrm{SQ}$の長さが最小となるように点$\mathrm{P}$を定める．このときの三角形$\mathrm{PSQ}$の面積を求めなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OSR}$の面積が最大となるように点$\mathrm{P}$を定める．このときの三角形$\mathrm{OSR}$の面積を求めなさい．