2007　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{5},0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,\sqrt{6})$がある．原点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$へ垂線を下ろし，$▵\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}$である．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}$である．

(4)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$である．

【２】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．整数$n$は不等式

$5\times 6^{40}\leqq n\leqq 3\times 5^{45}$

を満たすとする．

このとき，

(1)　$n$は$\boxed{\text{アイ}}\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の整数である．

(2)　${\log }_{10}2$と${\log }_{10}3$の値および不等式$\sqrt{48}<\sqrt{49}<\sqrt{50}$を用いると，${\log }_{10}7$の，小数第一位の数字は$\boxed{\text{ウ}}$であり，小数第二位の数字は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$5\times 6^{40}$の最高位の数字は$\boxed{\text{オ}}$であり，$3\times 5^{45}$の最高位の数字は$\boxed{\text{カ}}$である．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}k$は実数の定数で，$a\ne 0\text{，}k\ne 0$とする．$2$つの関数

$f(x)=a{x}^3+bx+c\text{，}g(x)=2x^2+k$

に対して，合成関数に関する等式

$g(f(x))=f(g(x))$

がすべての$x$について成り立つとする．

このとき，

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=-\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}k=-\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$g(f(x))=f(g(x))=p{x}^6+q{x}^4+r{x}^2+s$（$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$は定数）とおく．このとき，

$p=\boxed{\text{オカ}}\text{，}q=-\boxed{\text{キク}}\text{，}r=\boxed{\text{ケコ}}\text{，}s=-\boxed{\text{サ}}$

である．

【４】　次の$2$つの関数を考える．

$f(x)=\sin x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\sin 3x\text{，}g(x)=\sin x$

このとき，以下の設問に答えよ．ただし，必要ならば，次の公式を用いても良い．

$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x\text{，}\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)$の極大値とそのときの$x$の値および$f(x)$の極小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　座標平面において，曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$のグラフの概形を描け．ただし，曲線の凹凸および変曲点は調べなくてよい．

(3)　実数$k$に対して，次の条件(A)を考える．

(A)　$\{\begin{array}{l}0\leqq x\leqq \pi \text{の範囲のすべての}x\text{に対して，}\\ \text{不等式}kg(x)\leqq f(x)\text{が成り立つ．}\end{array}$

条件(A)を満たす実数$k$に対して，座標平面において，連立不等式

$kg(x)\leqq y\leqq f(x)\text{，}0\leqq x\leqq \pi$

で表される領域の面積を$S(k)$とする．

このとき，

(ⅰ)　$S(k)$を$k$の式で表せ．

(ⅱ)　$S(k)$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．

【５】　数列$\{L_n\}$を

$L_0=2\text{，}{L}_1=1\text{，}{L}_{n+1}=L_n+L_{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

このとき，以下の設問に答えよ．

(1)　漸化式$L_{n+1}=L_n+L_{n-1}$を，実数$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$を用いて，

$\begin{array}{ll}{L}_{n+1}-\beta L_n=\alpha (L_n-\beta L_{n-1})& \cdots \text{①}\\ L_{n+1}-\alpha L_n=\beta (L_n-\alpha L_{n-1})& \cdots \text{②}\end{array}$

と表すとき，$\alpha$と$\beta$を解とする$2$次方程式を，$\alpha$と$\beta$を含まない形で求めよ．なお，$2$次方程式の変数として$x$を用いよ．

(2)　数列$\{L_n\}$の一般項$L_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$n$が負でない整数のとき，${(L_n)}^2-L_{2n}$の値を求めよ．

(4)　正の奇数$n$に対して，次の条件(A)を考える．

(A)　$\{\begin{array}{l}\text{不等式}{L}_{2n}\leqq p^2\leqq L_{2n+2}\text{を満たす正の整数}p\text{が}\\ \text{ちょうど}17\text{個存在する．}\end{array}$

条件(A)を満たす正の奇数$n$の値を求め，さらに，その$n$に対して，不等式$L_{2n}\leqq p^2\leqq L_{2n+2}$を満たす正の整数$p$の最小数を求めよ．