2007　東京理科大学　薬学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$は定数として，$t$を変数とする関数

$f(t)={\cos }^{6}t-3{\cos }^{5}t+4{\cos }^{4}t+a\cos 3t+b\cos t$

を考える．この関数$f(t)$に対して，$f(t)=g({\cos }^{2}t-\cos t)$となる$3$次関数$g(x)$が存在するという．

(1)　$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}b=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　$g(x)$における$x^2$の係数は$\boxed{\text{オ}}$であり，$x$の係数は$-\boxed{\text{カ}}$である．

(3)　${\cos }^{2}t-\cos t$のとりうる値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\leqq {\cos }^{2}t-\cos t\leqq \boxed{\text{ケ}}$

である．

(4)　$f(t)$の最大値は$\boxed{\text{コ}\text{サ}}$であり，最小値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}$である．

【２】　$a$を定数とする．$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a,3)$と動点$\mathrm{P}(x,y)$の距離は，点$\mathrm{P}$と直線$y=5$の距離に等しいという．$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．$C$と$x$軸で囲まれた領域（境界を含む）を$D$とする．

(1)　$C$の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{(x-a)}^2+\boxed{\text{ウ}}$

である．

(2)　$D$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(3)　$D$の境界と$y$軸が共有点をもつのは，$-\boxed{\text{キ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ク}}$のときである．

定数$a$が(3)の範囲にあるとき，$C$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とおく．また，$C$と$x$軸の交点のうち，$x$座標の大きい方を$\mathrm{R}$とおく．

(4)　$a$が(3)の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QR}$が通過する部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．ただし，$\mathrm{Q}=\mathrm{R}$のとき，線分$\mathrm{QR}$は点$\mathrm{Q}$のこととする．

【３】［注意］(3)における$\boxed{\text{あ}\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{い}\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{う}\text{タ}}$は正または負の数で，$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}\text{，}\boxed{\text{う}}$には符号$+$（プラス），$-$（マイナス）が入ります．あてはまる符号と数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．例えば，$\boxed{\text{あ}\text{ク}}$にあてはまる数が$6$のときは，$\boxed{\text{あ}}$の欄に$+$を，$\boxed{\text{ク}}$の欄に$6$をマークしなさい．

　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間において，点$\mathrm{P}(3,1,8)$と点$\mathrm{A}(1,1,1)$をとる．

(1)　直線$\mathrm{OA}$上の点で，$\mathrm{P}$との距離が最小となる点の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$である．

(2)　$z$軸のまわりに空間の点を$90\mathrm{°}$回転させる．ただし，回転の向きは，この回転で点$(1,0,0)$が点$(0,1,0)$に移るようにとる．このとき，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$に移るとすると，$\mathrm{Q}$の座標は$(-\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$である．

(3)　直線$\mathrm{OA}$のまわりに空間の点を$90\mathrm{°}$回転させる．ただし，回転の向きは，この回転で点$(0,0,1)$が点$({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$に移るようにとる．このとき，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{R}(a,b,c)$に移るとすると，

$a=\boxed{\text{キ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{あ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

である．また，

$b=\boxed{\text{サ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{い}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}\text{，}c=\boxed{\text{ソ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{う}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$

である．

(4)　(2)，(3)における点$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{R}$について，$\cos \angle \mathrm{POR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\cos \angle \mathrm{POQ}$が成り立つ．

【４】　$2$が記入された札が$1$枚，$4$が記入された札が$2$枚，$5$が記入された札が$1$枚，$6$が記入された札が$1$枚，$8$が記入された札が$2$枚，全部で$7$枚の札$\boxed{2}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{5}\text{，}\boxed{6}\text{，}\boxed{8}\text{，}\boxed{8}$がある．

(1)　このうちの$6$枚の札$\boxed{2}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{6}\text{，}\boxed{8}\text{，}\boxed{8}$から$3$枚とり，横$1$列に並べてできる$3$桁の整数は，全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$個ある．

（例えば，$3$枚の札$\boxed{2}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{4}$を$\boxed{424}$のように横一列に並べてできる整数は$424$である．）

(2)　$6$枚の札$\boxed{2}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{6}\text{，}\boxed{8}\text{，}\boxed{8}$から$4$枚とり，横$1$列に並べてできる$4$桁の整数は，全部で$\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}$個ある．その中で，$4$の倍数である整数は，全部で$\boxed{\text{カ}\text{キ}}$個ある．

(3)　$7$枚の札$\boxed{2}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{5}\text{，}\boxed{6}\text{，}\boxed{8}\text{，}\boxed{8}$から$4$枚とり，横$1$列に並べてできる$4$桁の整数は，全部で$\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}$個ある．その中で，$4$の倍数である整数は全部で$\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}$個ある．