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2007 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(2)と合わせて配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.またについては,解答群から当てはまるものを選び,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.

(1)  1 から 1000 までの整数の集合を S とする. S の要素のうち, 3 の倍数全体の集合を A 5 の倍数全体の集合を B 7 の倍数全体の集合を C とする.

(a)  A B C の要素の個数は 個である.

(b)  (A B ) C の要素の個数は 個である.

(c) 集合 S の要素のうちで, B の要素 b C の要素 c を選んで b +c とかけるもの全体の集合を D とする. D の要素のうち, 5 で割り切れる数全体の集合を D0 5 で割って 1 余る数全体の集合を D1 5 で割って 2 余る数全体の集合を D2 5 で割って 3 余る数全体の集合を D3 5 で割って 4 余る数全体の集合を D 4 とする. D0 の要素で最小のものは D 1 の要素で最小のものは D 2 の要素で最小のものは D3 の要素で最小のものは D 4 の要素で最小のものは である.

(d) 集合 S の要素で D に属さないものの個数は 個であり,そのうちで最大の要素は である.

2007 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1)と合わせて配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.またについては,解答群から当てはまるものを選び,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.

2007年東京理科大理学部2月12日実施【1】(3)の図

図1

2007年東京理科大理学部2月12日実施【1】(3)の図

図2

(2)  a b を正の実数とし,円

C:x2 +y2 =1

と楕円

E: (x -1) 2a 2+ y 2b2 =1

を考える.楕円 E は,その内部(周を含む)に円 C を含んでいると仮定する.この条件の下で実数 a b を動かすときの楕円 E の面積の最小値を求めよう.次の 2 つの場合(A),(B)のいずれかに最小値を与える楕円がある.

(A) 円 C x 軸に関して対称な異なる 2 点で楕円 E に内接する場合(図1).

このとき, a b は等式

b4 - a 2b 2+ a2=0

を満たす.

(B) 円 C が点 (- 1,0 ) で楕円 E に内接する場合(図2).

このとき a= であり, b のとり得る範囲は b である.

楕円 E の面積 S の最小値を求めよう.(A)の場合には,

S2= π2 b b2 -1

と表せるから, a= 32 b= 12 のとき S は(A)の場合の最小値

S1= π

をとる.一方,(B)の場合の面積 S の最小値は S 2=2 π である.このいずれの場合も対応する楕円が上の条件を満たしていることは容易に確かめられる.したがって,楕円 E の面積 S の最小値は である.

ホの解答群

2007 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  2 つの数列 { an} { bn} は, a1= 3 b1= 1 および関係式

an+ 1=4 bn +2 b n+1 =an +1 n=1 2 3

により定義されている.以下の問いに答えよ.

(1)  cn= an- 2bn dn= an+ 2bn n=1 2 3 とおく.数列 { cn} { dn } の満たす漸化式をそれぞれ求めよ.

(2) 数列 { cn} { dn} の一般項をそれぞれ求めよ.

(3)  k=1 n c k k= 1n dk をそれぞれ求めよ.

(4)  An= k=1 n ak Bn = k= 1n bk をそれぞれ求めよ.

(5) 自然数 n に対して,不等式

2n> n (n -1) 2

が成立することを示せ.

(6)  limn A 2n B2 n を求めよ.

2007 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x) =x3 +x2 -3x を考える.以下の問いに答えよ.

(1) 関数 y= f( x) の極値をとる x の値および y= f( x) のグラフの変曲点を求めよ.(答のみでよい.)

(2)  y=f (x ) のグラフの概形を描け.

(3)  s を与えられた実数とする.直線 y= f( s) と曲線 y= f( x) が異なる 3 点で交わるような実数 s の範囲を求めよ.

(4)  s が(3)で定まる範囲にあるとき,直線 y= f( s) と曲線 y= f( x) 3 交点を Q (a ,f( a)) R (s ,f( s)) S (b ,f( b)) とする.ただし, a<s< b と仮定する.実数 p を, s=p のとき R が線分 QS 2 :1 に内分するように選ぶ. p を決定せよ.

(5) (4)で定めた a b p に対し, ab (f (x) -f( p)) dx を求めよ.

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