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2007-13442-1101
2007 東京理科大学 理学部数学科B方式
2月12日実施
配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 a を a> 1 を満たす定数として,座標平面で点 P (a ,a) を考える. x 軸の正の部分に点 A , y 軸の正の部分に点 B があり,線分 AB の長さは 1 とする. 2 点 A , B を通る直線を l とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 A の座標を (cos ⁡θ,0 ) とするとき,直線 l の方程式を求めよ.ただし, 0<θ <π 2 とする.
(2) 点 P と直線 l の距離 h を θ で表せ.
(3) θ を 0< θ< π2 の範囲で動かしたとき,(2)で求めた距離 h の最大値を求めよ.
2007-13442-1102
配点60点
【2】 次の各問いに答えよ.
(1) 次の問いに答えよ.
(a) 関数 f⁡ (x) =x- 14⁢x (x >0 ) の逆関数は g⁡ (x) = x+x 2+1 2 であることを示せ.
(b) h⁡( x)= log⁡g⁡ (x ) とおく. h⁡( x) の導関数 h ′⁡( x) を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.
(c) 不定積分 ∫⁡ 1 x2+ 1⁢ dx を求めよ.
(d) 関数 p⁡ (x) =x⁢ x2+ 1 の導関数を考えて,不定積分 ∫⁡ x2+ 1⁢d x を求めよ.
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(2) 双曲線 C: x2- y2= 1 に関し,次の問いに答えよ.
(a) t を実数とするとき,双曲線 C と直線 y= t は 2 つの交点をもつ. 2 交点間の距離を t で表せ.
(b) b>0 とし,双曲線 C , 直線 y= -b および直線 y= b で囲まれる図形を D とする. D を y 軸のまわりで 1 回転してできる回転体の体積を V とする. V を b で表せ.
(c) (b)で定義した図形 D の面積を S とする. S を b で表せ.
(d) limb→ ∞⁡ Sb2 を求めよ.