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2007-13442-1201
2007 東京理科大学 理学部B方式
情報数理科,応用物理,応用化学科
2月13日実施
(1)〜(3)合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の 内のアからモにあてはまる 0 から 9 までの数字を求めて,解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークせよ.
(1) 男子 8 人,女子 6 人の計 14 人のグループから,男女少なくとも 2 人ずつを含むように当番 6 人を選んで音楽室の掃除をすることになった.この組合わせは ア イ ウ エ 通りである.また,そのうち当番が男女同数になる組合わせは オ カ キ ク 通りである.
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(2) a ,b ,c ,d を実数とし,行列
A=( a 2⁢a b 2⁢b ) ,B= ( c- 3⁢c d- 3⁢d )
は A+ B=E を満たすものとする.ただし, E は単位行列である.このとき次の問いに答えよ.
(a) a と b の値はそれぞれ a= ケ コ ,b= サ シ である.
(b) A2 ,B2 , A⁢B+ B⁢A はそれぞれ
A2= 1 ス ⁢ ( セ ソ タ チ ) ,B2 = 1 ツ ⁢ ( テ - ト - ナ ニ ) ,
A⁢ B+B⁢ A=( ヌ ネ ノ ハ )
である.
(c) M= 13⁢ A- 12 ⁢ B とし,自然数 n に対して M n=( p nq n rn sn ) とおく.このとき ∑n =1∞ ⁡pn = ヒ フ である.
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【1】次の 内のアからモにあてはまる 0 から 9 までの数字を求めて,解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークせよ.
(3) 初項 a 1=3 の数列 { an} がある. n≧2 に対して,初項 a 1 から第 n 項 an までの和を S n としたとき, Sn= (n +1) 2⁢ an が成り立つとする.このとき次の問いに答えよ.
(a) n≧2 のとき, a n+1 an = ヘ ⁢ n+ ホ n+ マ が成り立つ.
(b) 数列 { an} の一般項は, n≧2 のとき
an= ミ ム ⁢ n2+ メ ⁢ n+ モ
となる.
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配点30点
【2】 e を自然対数の底とするとき,次の問いに答えよ.
(1) α ,β を実数とするとき,
I= ∫αβ ⁡e -x ⁢sin⁡2 ⁢x⁢d x ,J= ∫αβ ⁡e -x⁢ cos⁡2⁢ x⁢dx
をそれぞれ求めよ.
(ヒント:部分積分により I と J の関係を導き,それを利用して I と J を求めてもよい.)
(2) x≧0 の範囲で y= e-x のグラフと y= e-x ⁢sin⁡ 2⁢x のグラフの共有点の x 座標を小さい順に a1 ,a 2 , ⋯, an , ⋯ とおくとき, an を求めよ.ただし, n は自然数である.
(3) n を自然数とするとき,区間 a n≦x≦ an+ 1 において曲線 y= e-x と曲線 y =e- x⁢sin ⁡2⁢x で囲まれた部分の面積 S n を求めよ.
(4) (3)で求めた S n (n =1 ,2 ,⋯ ) について, S= ∑n =1∞ ⁡ (-1 )n -1⁢ Sn を求めよ.
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【3】 空間内に点 A (1 ,0,0 ), B( 0,1, 0) ,C (- 1,0, 0) ,D (0 ,-1, 0) ,P (0 ,0,3 ⁢3 ) をとって, xy 平面上の正方形 ABCD を底面とし,点 P を頂点とする四角錐 PABCD を考える. xy 平面上にあって,点 A を通り y 軸に平行な直線を l とする. z 軸上の点 Q( 0,0, 3⁢ t) ( 0≦t< 3) と直線 l を含む平面を α とする.平面 α と線分 PB , PC , PD の交点をそれぞれ E , F , G とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 E と点 G の座標をそれぞれ求めよ.また,三角形 AEG の面積を求めよ.
(2) 点 F の座標と三角形 EFG の面積を求めよ.
(3) 四角形 AEFG の面積を S⁡ (t ) とするとき, S⁡( t) を求めよ.また, log⁡S ⁡(t ) の導関数 d dt ⁡log ⁡S⁡( t) を求めよ.ただし,対数は自然対数である.
(4) 区間 0≦ t<3 における S⁡ (t ) の最大値とそのときの t の値を求めよ.