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2007-13442-1301
2007 東京理科大学 理学部情報数理学科B方式
2月13日実施
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 n を 2 以上の自然数とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 次の不等式を証明せよ.ただし,対数は自然対数である.
12 + 13+ ⋯+ 1n< log⁡n< 1+ 12+ 13 +⋯ 1 n-1
(2) n 以下の自然数 k に対して, 1 ,2 ,⋯ ,n のうちで k の倍数であるものの個数を a k とし, k の約数であるものの個数を b k とする.ただし, 1 と k は k の約数である.
(a) n=8 のとき ∑k =18 ⁡ak と ∑k =18 ⁡b k をそれぞれ求めよ.
(b) n を 2 以上の自然数とするとき, k=1 ,2 ,⋯ ,n に対して次の不等式が成り立つことを証明せよ.
nk -1< ak≦ nk
(c) b1+ b2+ ⋯+b n を a 1 ,a2 , ⋯, an を用いて表せ.
(d) 次の不等式を証明せよ.
| 1n⁢ (b 1+b2 +⋯+ bn) -log⁡n |<1
2007-13442-1302
【2】 次の問いに答えよ.
(1) 加法定理を用いて次の等式を証明せよ.
sin⁡A+ sin⁡B= 2⁢sin⁡ A +B2 ⁢cos⁡ A -B2
cos⁡A+ cos⁡B= 2⁢cos⁡ A +B2 ⁢cos⁡ A -B2
(2) 区間 0≦ x≦2⁢ π において,次の方程式の解をすべて求めよ.
cos⁡x+ cos⁡2⁢ x+cos⁡ 3⁢x+ cos⁡4⁢ x=sin⁡ x+sin⁡ 2⁢x+ sin⁡3⁢ x+sin⁡ 4⁢x
(3) 関数 f⁡ (x ) を次の式で定める.
f⁡( x)= sin⁡x+ cos⁡x+ sin ⁡2⁢x +cos⁡2 ⁢x2 + sin⁡3⁢ x+cos⁡ 3⁢x3 + sin⁡4⁢ x+cos⁡ 4⁢x4
このとき,区間 0≦ x≦2⁢ π で関数 f⁡ (x ) が極大となる x の値と極小となる x の値をすべて求めよ.また,区間 0 ≦x≦2 ⁢π で f ⁡(x ) が最大となる x の値を求めよ.