2007　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】

(1)　$p$は正の実数とする．$x$についての$3$次方程式

$x^3-2x^2+(p+1)x-p=0$

が$3$つの異なる実数解$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$をもち，さらにこれらの解$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$からなる数列が等比数列であるとする．このとき，

$p=\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$

である．また，この数列のとりうる公比のなかで最も大きいのは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{2}}$である．

【１】

(2)　$90°\leqq \theta \leqq 180°\text{，}180°<\omega <360°$とする．$x$についての$3$次方程式

$x^3+(1+2\cos {\displaystyle \frac{\theta }{3}})x^2+(1+2\cos {\displaystyle \frac{\theta }{3}})x+1=0$

が$2$つの複素数解$z_1=r\cos \omega +ir\sin \omega \text{，}{z}_2=r\cos \omega -ir\sin \omega$をもつとき，$r=\boxed{\text{エ}}$である．ただし，$r$は正の実数とし，$i$は虚数単位とする．また，$\cos \omega$が最大になるのは$\omega =(15\times \boxed{\text{オ}})°$のときである．

【１】

(3)　$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)$に対し，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフはともに点$\mathrm{P}(2,0)$で$x$軸に接し，かつどちらも点$\mathrm{Q}(0,2)$を通るとする．さらに，$y=g(x)$のグラフが点$\mathrm{R}(4,0)$も通るとき，

• $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}x+2\text{，}$
• $g(x)={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}}(x^3+\boxed{\text{ケ}}{x}^2+\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}})$

である．

【２】　$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$を$3$辺とする右のような平行六面体$\mathrm{OADB}-\mathrm{CEGF}$において，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となるようにとり，点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{DQ}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{\mathrm{DG}}$となるようにとる．また，線分$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{c}$．

　点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=k\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$をみたす実数$k$がある．したがって，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{シ}}}k+\frac{1}{6}}\right)\overrightarrow{c}\text{．}$(1)

　また，点$\mathrm{R}$は平面$\mathrm{ABC}$上にあるから

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\boxed{\text{ス}}-s-t)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$(2)

をみたす実数$s\text{，}t$がある．$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は同一平面上にないから(1)，(2)により，

$k={\displaystyle \frac{2}{\boxed{\text{セ}}}}$．

　したがって

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{2}{\boxed{\text{セ}}}\overrightarrow{a}+\frac{2}{\boxed{\text{セ}}}\overrightarrow{b}+\frac{1}{\boxed{\text{ソ}}}\overrightarrow{c}}$

である．

　つぎに線分$\mathrm{DR}$と平面$\mathrm{ABE}$の交点を$\mathrm{S}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{タ}}}\overrightarrow{a}+\frac{1}{\boxed{\text{タ}}}\overrightarrow{b}+\frac{1}{\boxed{\text{チ}}}\overrightarrow{c}}$

である．

【３】　$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}=5a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義された数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$を考える．ただし，${\log }_{10}2=\mathrm{0,3010}$とする．

(1)　${\log }_{10}{a}_n>6.99$をみたす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ツ}}$である．

(2)　$a_n$の桁数が$100$桁であるような最大の自然数$n$は$100+\boxed{\text{テ}}$である．

(3)　$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\log }_{10}{a}_k$とする．$b_n>200$をみたす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ト}}$である．

(4)　(3)の$b_n$に対して，$c_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とする．${\log }_{10}(c_n\cdot {\log }_{5}10)>1$をみたす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ナ}}$である．

【４】　$xy$平面において，中心$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$半径$1$の円$C_1$と中心$\mathrm{A}(8,0)\text{，}$半径$3$の円$C_2$を考える．円$C_1$と円$C_2$にともに接する直線を，傾きが小さい方から順に$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3\text{，}{l}_4$としたとき，

直線$l_2$の方程式は

$x+\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}y+\boxed{\text{ヌ}}=0$，

直線$l_4$の方程式は

$x-\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}y+\boxed{\text{ノ}}=0$．

　いま，直線$l_1$と円$C_1$の接点を$\mathrm{B}$する．$x$についての$2$次関数$f(x)=a{(x-b)}^2+c$のグラフは直線$l_1$と点$\mathrm{B}$で接し，かつ直線$l_4$とも接するとする．このとき，

$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}}\text{，}b=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\boxed{\text{フ}}}}$

である．さらに，$2$直線$l_1\text{，}{l}_4$および$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．