2007　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　複素数$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha \text{，}\beta \ne 0\text{）}$に対して，$p_1=3$を初項とする数列$\{p_n\}$を

$p_n=1+{\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問に答えよ．

(1)　$p_2\ne 0\text{，}{p}_4\ne 0$のどちらかが成立することを示せ．

(2)　数列$\{p_n\}$がさらに次の条件をみたすとする．

• (＊)　隣接する$2$項の積はすべて$0$となる．すなわち
  • $p_n{p}_{n+1}=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき$\alpha \text{，}\beta$および$p_n$の値を求めよ．

【２】　定数$c$に対して行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}1& c\\ 4& -1\end{array}\right)$

で定め，直線$y=x+1$上の動点$\mathrm{P}(t-1,t)$を$A$によって移動した点を$\mathrm{Q}$とする．すなわち，

$A\left(\begin{array}{c}t-1\\ t\end{array}\right)$

に対応する点を$\mathrm{Q}$とする．定点$\mathrm{R}$とすべての$t$の値に対して，$▵\mathrm{PQR}$は$\mathrm{P}$を直角の頂点とする直角三角形となるという．以下の問に答えよ．

(1)　定点$\mathrm{R}$の座標および定数$c$の値を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{PQR}$の外接円の面積の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【３】　曲線$y=e^{-x}$と$y=e^{-x}|\cos x|$で囲まれた図形のうち，$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$をみたす部分の面積を$a_n$とする（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos xdx=e^{-x}(p\sin x+q\cos x)+C$をみたす定数$p\text{，}q$を求めよ．ただし，$C$は積分定数である．

(2)　$a_1$の値を求めよ．

(3)　$a_n$の値を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1+a_2+\cdots +a_n)$を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$k$を正の整数とする．関数${(1-x)}^n{x}^k$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$a_n$とするとき，$a_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(2)　$f(x)\text{，}g(x)$を$0\leqq x\leqq 1$において定められた連続関数とする．関数${(1-x)}^{n}f(x)\text{，}{(1-x)}^{n}g(x)\text{，}{(1-x)}^n\{f(x)+g(x)\}$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値をそれぞれ$b_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$とする．このとき$0\text{，}{b}_n+c_n\text{，}{d}_n$の大小を

$\boxed{}\leqq \boxed{}\leqq \boxed{}$

の形式で答え，その理由を述べよ．

(3)　$p\text{，}q\text{，}r\geqq 0$を定数，$f(x)=p{x}^2+qx+r$とし，関数${(1-x)}^{n}f(x)$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$e_n$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}_n$を求めよ．

【５】　$xy$平面において，点$(5\sqrt{3},0)$を中心とする半径$5$の円を$C\text{，}$点$(-4\sqrt{3},0)$を中心とする半径$4$の円を$D$とする．$C\text{，}D$の共通接線のうち，$C\text{，}D$が異なる側にあり傾きが正であるものを$l\text{，}$傾きが負であるものを$l^{\prime }$とし，$C\text{，}D$が同じ側にあり傾きが正であるものを$m$とする．以下の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　三直線$l\text{，}{l}^{\prime }\text{，}m$のすべてに接し$C\text{，}D$と異なる円を$E\text{，}{E}^{\prime }$とする．二円$E\text{，}{E}^{\prime }$の中心の$x$座標を求めよ．

(4)　(3)の円$E\text{，}{E}^{\prime }$の半径を求めよ．