2007　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　${(x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{2n}$を展開したときの$x^r$の係数は

${\displaystyle \frac{(2n)!}{\{{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}(\boxed{\text{イ}}n-r)\}!\{{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}(\boxed{\text{エ}}n+r)\}!}}$

である．ただし，$r$は$-2n\leqq r\leqq 4n$を満たす整数とする．

【２】　方程式

${\log }_{x}512+{\log }_x{\displaystyle \frac{2}{x^7}}+{\log }_{2}x=0$

の$2$つの実数解を$\alpha$と$\beta$（ただし，$\alpha >\beta$）とするとき

$\alpha =\boxed{\text{オ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{カ}}$

である．

【３】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{AB}=3\sqrt{2}$である．同じ平面上に点$\mathrm{P}$があり

$5\overrightarrow{\mathrm{OA}}-12\overrightarrow{\mathrm{OB}}+21\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$

が成り立つ．このとき三角形$\mathrm{OBP}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

【４】　複素数

• $z_1=\cos \alpha +i\sin \alpha$
• $z_2=\cos \beta +i\sin \beta$

が，等式

$z_1+z_2={\displaystyle \frac{5}{7}+\frac{4}{7}i}$

を満たすとき

$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【５】　不等式

$-x^2+(a+2)x+a-3<y<x^2-(a-1)x-2$(＊)

を考える．ただし，$x\text{，}y\text{，}a$は実数とする．このとき

「どんな$x$に対しても，それぞれ適当な$y$をとれば不等式(＊)が成立する」

ための$a$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{2}<a<\frac{\boxed{\text{ス}}}{2}}$である．また

「適当な$y$をとれば，どんな$x$に対しても不等式(＊)が成立する」

ための$a$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}-\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{2}<a<\frac{\boxed{\text{セ}}+\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{2}}$である．

【６】　四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{OABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は長方形であり，辺$\mathrm{OD}$は底面$\mathrm{ABCD}$と垂直である．また，$\mathrm{AD}=5\sqrt{2}\text{，}\mathrm{CD}=\mathrm{OD}=5$である．

　辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$としたとき，点$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{PQC}$を含む平面に下ろした垂線の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．ただし，分母は可能な限り小さな自然数で答えること．

【７】　関数$f(x)=3ax-3a+b$において，実数$a\text{，}b$が，条件

${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx\geqq 0\text{，}{\displaystyle {\int }_0^2}{\{f(x)\}}^{2}dx\leqq 18$

を共に満たすように動くとき，定積分$I={\displaystyle {\int }_0^2}xf(x)dx$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}\leqq I\leqq \boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$

である．ただし，根号の中は可能な限り小さな自然数で答えること．

【８】　実数$x\text{，}y\text{，}z$の間に$x+2y+3z=7$という関係があるとき，$x^2+y^2+z^2$は$x={\displaystyle \frac{y}{\boxed{\text{ニ}}}}={\displaystyle \frac{z}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{2}}$をとる．

【９】　$x$の$2$次方程式$x^2-mnx+m+n=0$（ただし，$m\text{，}n$は自然数）で$2$つの解がともに整数となるものは$\boxed{\text{ノ}}$個ある．

【７】　$2$次正方行列$A$に対して

$A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)\text{，}{A}^2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$

が成り立つ．$A$と同じ型の単位行列を$E$とすれば

$8A^4=\boxed{\text{ツ}}A+\boxed{\text{テ}}E$

である．

【８】　関数$f(x)=3a\cos x+b\sin x$において，実数$a\text{，}b$が，条件

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx\geqq 0\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\{f(x)\}}^{2}dx\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

を共に満たすように動くとき，定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(1+\cos x)f(x)dx$のとりうる値の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ト}}}}\leqq I\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{{\pi }^2+\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$

である．

【９】　数列$\{a_n\}$の一般項が次のように与えられている．

$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\{{\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^n\}$

　このとき，$a_n\text{，}{a}_{n+1}\text{，}{a}_{n+2}$は関係式$a_n=\boxed{\text{ヌ}}{a}_{n+1}+\boxed{\text{ネ}}{a}_{n+2}$を満たす．これを利用すると$a_6=\boxed{\text{ノ}}$である．また，数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\right\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$は収束し，その極限値を$\alpha$とすれば${\alpha }^3=\boxed{\text{ハ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$である．